Номер 513, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 513, страница 77.

* 513. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью $v_0$. Пользуясь законом сохранения механической энергии, докажите, что скорость тела на высоте $H$ над горизонтом определяется по формуле $v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Начальная высота: $h_0 = 0$

Конечная высота: $h = H$

Конечная скорость: $v$

Масса тела: $m$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Доказать, что скорость тела на высоте $H$ определяется по формуле $v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. При движении тела в поле силы тяжести, если пренебречь сопротивлением воздуха, его полная механическая энергия остается постоянной. Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень горизонта, с которого было брошено тело.

В начальный момент времени (при $h_0 = 0$) тело имеет скорость $v_0$. Его полная механическая энергия $E_0$ равна:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

На высоте $H$ над горизонтом тело будет иметь некоторую скорость $v$. Его полная механическая энергия $E$ в этой точке будет равна:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgH$

Согласно закону сохранения механической энергии, энергия в начальный момент времени равна энергии на высоте $H$:

$E_0 = E$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgH$

Для того чтобы найти скорость $v$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на массу $m$ (так как $m \neq 0$):

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gH$

Затем умножим обе части уравнения на 2:

$v_0^2 = v^2 + 2gH$

Выразим $v^2$:

$v^2 = v_0^2 - 2gH$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $v$:

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Что и требовалось доказать.