Номер 511, страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Закон сохранения механической энергии. Законы движения и взаимодействия тел - номер 511, страница 77.

► 511. Человек, прыгая с высоты, в момент приземления как бы пружинит. Докажите, используя закон сохранения механической энергии, что, чем больше путь торможения человека, тем меньше сила удара.

Дано:

$m$ – масса человека;

$h$ – высота, с которой прыгает человек;

$s$ – путь торможения (глубина приседания при приземлении);

$g$ – ускорение свободного падения;

$F$ – сила удара (средняя сила, действующая на человека во время торможения со стороны опоры).

Найти:

Доказать, что при увеличении пути торможения $s$ сила удара $F$ уменьшается.

Решение:

Для доказательства воспользуемся законом сохранения энергии в форме теоремы об изменении кинетической энергии. Разобьем движение человека на два этапа: свободное падение и торможение.

1. Свободное падение.

В начальный момент времени на высоте $h$ человек обладает потенциальной энергией $E_p = mgh$ (относительно уровня земли, который мы принимаем за нулевой) и нулевой кинетической энергией. В момент касания земли, согласно закону сохранения механической энергии, вся потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом, кинетическая энергия человека непосредственно перед приземлением равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2} = mgh$

где $v$ – скорость человека в момент касания земли.

2. Торможение.

Процесс торможения происходит на пути $s$, в течение которого скорость человека уменьшается от $v$ до нуля. На этом этапе на человека действуют две силы по вертикали: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры (сила удара) $F$, направленная вверх. Изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех действующих на него сил.

Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = E_{k,конечная} - E_{k,начальная} = 0 - \frac{mv^2}{2} = -mgh$.

Суммарная работа сил $A_{net}$ складывается из работы силы тяжести $A_g$ и работы силы удара $A_F$. Перемещение $s$ направлено вниз.

Работа силы тяжести положительна, так как ее направление совпадает с направлением перемещения: $A_g = mgs$.

Работа силы удара отрицательна, так как она направлена противоположно перемещению: $A_F = -Fs$.

Суммарная работа: $A_{net} = A_g + A_F = mgs - Fs$.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, $A_{net} = \Delta E_k$:

$mgs - Fs = -mgh$

Теперь выразим из этого уравнения силу удара $F$:

$Fs = mgs + mgh$

$Fs = mg(s + h)$

$F = \frac{mg(s + h)}{s}$

Эту формулу можно переписать в виде:

$F = mg(1 + \frac{h}{s})$

Проанализируем полученное выражение. Для конкретного прыжка масса человека $m$ и высота прыжка $h$ являются постоянными величинами. Сила удара $F$ является функцией от пути торможения $s$. Из формулы видно, что величина $F$ обратно зависит от $s$: чем больше путь торможения $s$ (чем глубже человек приседает), тем меньше становится слагаемое $\frac{h}{s}$, и, следовательно, тем меньше оказывается сила удара $F$. Это доказывает, что "пружинящее" движение при приземлении, увеличивающее путь торможения, позволяет значительно снизить пиковую нагрузку на опорно-двигательный аппарат.

Ответ: Сила удара при приземлении выражается формулой $F = mg(1 + \frac{h}{s})$. Из этой зависимости следует, что сила удара $F$ обратно пропорциональна пути торможения $s$. Таким образом, чем больше путь торможения, тем меньше сила удара, что и требовалось доказать.