Страница 77 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 509. Древнейшее из дошедших до нас сочинений по механике называется «Механические проблемы». Оно создано в Египте в III в. до н. э. В нём есть такая задача: «Почему, если к дереву приложить топор, обременённый тяжёлым грузом, то дерево будет повреждено весьма незначительно, но если поднять топор без груза и ударить по дереву, то оно расколется? Между тем падающий груз в этом случае гораздо меньше давящего». Автор сочинения не мог ответить на поставленный вопрос. А что ответите вы?

Эта задача, поставленная в древности, прекрасно иллюстрирует разницу между статической силой и динамическим ударом, а также важность понятий энергии и импульса, которые не были известны автору «Механических проблем».

Случай 1: Топор с грузом приложен к дереву

Когда топор с тяжёлым грузом просто прикладывают к дереву, на него действует постоянная, статическая сила, равная их общему весу: $F_1 = (m_{топора} + m_{груза}) \cdot g$. Хотя эта сила может быть значительной, она приложена статически. Лезвие топора, имея малую площадь $A$, создает высокое давление $P_1 = F_1 / A$, которое может оставить на дереве вмятину. Однако для раскалывания дерева необходимо совершить работу по разрушению его структуры, то есть приложить силу на определённом расстоянии (глубине). В статическом положении работа не совершается, и энергия на разрушение не передаётся.

Случай 2: Топор без груза ударяет по дереву

В этом случае всё решает не вес топора, а его движение. Замахиваясь, человек совершает работу и сообщает топору скорость $v$, а значит, и кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2}m_{топора}v^2$. Именно эта накопленная энергия в момент удара идёт на совершение работы по раскалыванию дерева.

Ключевой момент — это само столкновение. Оно происходит за очень короткий промежуток времени $\Delta t$. За это время скорость топора падает до нуля, то есть его импульс ($p=mv$) полностью гасится. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, средняя сила удара $F_2$ определяется как отношение изменения импульса ко времени этого изменения:$F_2 = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m_{топора}v}{\Delta t}$

Поскольку знаменатель $\Delta t$ (время удара) очень мал, сила удара $F_2$ становится огромной. Она во много раз превосходит статическую силу веса топора с грузом из первого случая ($F_2 \gg F_1$). Именно эта кратковременная, но чрезвычайно большая сила, сосредоточенная на малой площади лезвия, создает колоссальное давление, которое и разрывает волокна древесины.

Таким образом, автор древнего текста ошибался, сравнивая лишь величины веса («падающий груз» и «давящий груз»). Разрушительный эффект удара обусловлен не весом, а кинетической энергией и возникающей при резкой остановке огромной силой.

Ответ: Разница в результате объясняется различием между статическим и динамическим воздействием. В первом случае на дерево действует статическая сила тяжести топора с грузом, которой недостаточно для разрушения древесины. Во втором случае топор, движущийся со скоростью, обладает кинетической энергией. При ударе о дерево эта энергия за очень короткое время преобразуется в работу по его разрушению. Возникающая при этом кратковременная сила удара ($F = \frac{m \cdot v}{\Delta t}$) оказывается во много раз больше статической силы веса, что и приводит к раскалыванию дерева.

► 510. На рисунке 104 изображена «чёртова петля», которая была изобретена в 1902 г. одновременно двумя цирковыми артистами — Дьяволо (Джонсоном) и Мефисто (Нуазетом). По этой петле цирковые артисты спускаются на велосипеде на глазах изумлённой публики. С какой наименьшей высоты должен начинать движение артист, чтобы не упасть с петли в её верхней части?

Рис. 104

Дано:

R - радиус петли

v₀ = 0 - начальная скорость артиста в точке A

Найти:

h - наименьшая высота, с которой должен начинать движение артист

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона для движения по окружности.

1. Рассмотрим движение артиста в верхней точке петли (точка С). На него действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a_c}$:

$ m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a_c} $

В проекции на вертикальную ось, направленную к центру окружности (вниз), уравнение примет вид:

$ mg + N = \frac{mv^2}{R} $

где $v$ - скорость артиста в верхней точке петли, а R - радиус петли.

2. Условие, при котором артист не упадёт с петли, заключается в том, что он должен оказывать давление на опору, то есть сила реакции опоры должна быть больше или равна нулю ($ N \ge 0 $). Наименьшая возможная скорость в верхней точке будет соответствовать случаю, когда сила реакции опоры обращается в ноль ($ N = 0 $). В этот предельный момент только сила тяжести будет обеспечивать центростремительное ускорение:

$ mg = \frac{mv_{min}^2}{R} $

Отсюда находим квадрат минимальной скорости в верхней точке:

$ v_{min}^2 = gR $

3. Теперь применим закон сохранения механической энергии. Будем считать, что трение отсутствует. Полная механическая энергия артиста в начальной точке А (на высоте h) равна его полной механической энергии в верхней точке петли С (на высоте 2R).

$ E_A = E_C $

Энергия в точке А (начальная скорость равна нулю):

$ E_A = E_{kA} + E_{pA} = 0 + mgh $

Энергия в точке С (скорость равна $v_{min}$, высота равна диаметру петли 2R):

$ E_C = E_{kC} + E_{pC} = \frac{mv_{min}^2}{2} + mg(2R) $

Приравниваем энергии:

$ mgh = \frac{mv_{min}^2}{2} + mg(2R) $

4. Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для квадрата минимальной скорости $ v_{min}^2 = gR $:

$ mgh = \frac{m(gR)}{2} + mg(2R) $

Сократим обе части уравнения на $mg$:

$ h = \frac{R}{2} + 2R $

$ h = 2.5R $

Таким образом, наименьшая высота, с которой должен стартовать артист, чтобы успешно пройти верхнюю точку петли, составляет 2.5 радиуса самой петли.

Ответ:

Наименьшая высота, с которой должен начинать движение артист, чтобы не упасть с петли в её верхней части, равна $h = 2.5R$, где R - радиус петли.

► 511. Человек, прыгая с высоты, в момент приземления как бы пружинит. Докажите, используя закон сохранения механической энергии, что, чем больше путь торможения человека, тем меньше сила удара.

Дано:

$m$ – масса человека;

$h$ – высота, с которой прыгает человек;

$s$ – путь торможения (глубина приседания при приземлении);

$g$ – ускорение свободного падения;

$F$ – сила удара (средняя сила, действующая на человека во время торможения со стороны опоры).

Найти:

Доказать, что при увеличении пути торможения $s$ сила удара $F$ уменьшается.

Решение:

Для доказательства воспользуемся законом сохранения энергии в форме теоремы об изменении кинетической энергии. Разобьем движение человека на два этапа: свободное падение и торможение.

1. Свободное падение.

В начальный момент времени на высоте $h$ человек обладает потенциальной энергией $E_p = mgh$ (относительно уровня земли, который мы принимаем за нулевой) и нулевой кинетической энергией. В момент касания земли, согласно закону сохранения механической энергии, вся потенциальная энергия переходит в кинетическую. Таким образом, кинетическая энергия человека непосредственно перед приземлением равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2} = mgh$

где $v$ – скорость человека в момент касания земли.

2. Торможение.

Процесс торможения происходит на пути $s$, в течение которого скорость человека уменьшается от $v$ до нуля. На этом этапе на человека действуют две силы по вертикали: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила реакции опоры (сила удара) $F$, направленная вверх. Изменение кинетической энергии тела равно суммарной работе всех действующих на него сил.

Изменение кинетической энергии: $\Delta E_k = E_{k,конечная} - E_{k,начальная} = 0 - \frac{mv^2}{2} = -mgh$.

Суммарная работа сил $A_{net}$ складывается из работы силы тяжести $A_g$ и работы силы удара $A_F$. Перемещение $s$ направлено вниз.

Работа силы тяжести положительна, так как ее направление совпадает с направлением перемещения: $A_g = mgs$.

Работа силы удара отрицательна, так как она направлена противоположно перемещению: $A_F = -Fs$.

Суммарная работа: $A_{net} = A_g + A_F = mgs - Fs$.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, $A_{net} = \Delta E_k$:

$mgs - Fs = -mgh$

Теперь выразим из этого уравнения силу удара $F$:

$Fs = mgs + mgh$

$Fs = mg(s + h)$

$F = \frac{mg(s + h)}{s}$

Эту формулу можно переписать в виде:

$F = mg(1 + \frac{h}{s})$

Проанализируем полученное выражение. Для конкретного прыжка масса человека $m$ и высота прыжка $h$ являются постоянными величинами. Сила удара $F$ является функцией от пути торможения $s$. Из формулы видно, что величина $F$ обратно зависит от $s$: чем больше путь торможения $s$ (чем глубже человек приседает), тем меньше становится слагаемое $\frac{h}{s}$, и, следовательно, тем меньше оказывается сила удара $F$. Это доказывает, что "пружинящее" движение при приземлении, увеличивающее путь торможения, позволяет значительно снизить пиковую нагрузку на опорно-двигательный аппарат.

Ответ: Сила удара при приземлении выражается формулой $F = mg(1 + \frac{h}{s})$. Из этой зависимости следует, что сила удара $F$ обратно пропорциональна пути торможения $s$. Таким образом, чем больше путь торможения, тем меньше сила удара, что и требовалось доказать.

* 512. Докажите, что при одинаковой начальной скорости тормозной путь гружёного и негружёного автомобилей одинаков. Считать постоянным коэффициент трения.

Дано:

$v_{01} = v_{02} = v_0$ - начальная скорость гружёного и негружёного автомобилей.

$\mu_1 = \mu_2 = \mu$ - коэффициент трения для обоих автомобилей.

$m_1$ - масса негружёного автомобиля.

$m_2$ - масса гружёного автомобиля.

Найти:

Доказать, что тормозной путь $S_1$ негружёного автомобиля равен тормозному пути $S_2$ гружёного автомобиля, то есть $S_1 = S_2$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся теоремой о кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершаемая равнодействующей всех сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела:

$A = \Delta E_к = E_{к2} - E_{к1}$

В начале торможения автомобиль обладает кинетической энергией $E_{к1} = \frac{mv_0^2}{2}$. В конце тормозного пути автомобиль останавливается, поэтому его конечная кинетическая энергия $E_{к2} = 0$.

Работа совершается только силой трения, так как она является единственной силой, действующей в горизонтальном направлении (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Работа силы трения отрицательна, так как сила трения направлена в сторону, противоположную перемещению.

$A = A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$

где $S$ - тормозной путь.

Сила трения скольжения $F_{тр}$ равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу нормальной реакции опоры $N$. Для автомобиля, движущегося по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры равна силе тяжести:

$N = mg$

Следовательно, сила трения:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg$

Теперь подставим все выражения в теорему о кинетической энергии:

$-\mu mgS = 0 - \frac{mv_0^2}{2}$

$-\mu mgS = -\frac{mv_0^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на $-1$ и сократим массу $m$:

$\mu gS = \frac{v_0^2}{2}$

Выразим тормозной путь $S$:

$S = \frac{v_0^2}{2\mu g}$

Как видно из полученной формулы, тормозной путь $S$ зависит от квадрата начальной скорости $v_0$ и коэффициента трения $\mu$, но не зависит от массы автомобиля $m$.

Поскольку по условию задачи начальная скорость и коэффициент трения одинаковы для гружёного и негружёного автомобилей, их тормозные пути будут одинаковы.

Ответ: Тормозной путь автомобиля при постоянном коэффициенте трения определяется выражением $S = \frac{v_0^2}{2\mu g}$, которое не зависит от массы автомобиля. Следовательно, при одинаковой начальной скорости тормозной путь гружёного и негружёного автомобилей будет одинаков, что и требовалось доказать.

* 513. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью $v_0$. Пользуясь законом сохранения механической энергии, докажите, что скорость тела на высоте $H$ над горизонтом определяется по формуле $v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$.

Дано:

Начальная скорость тела: $v_0$

Начальная высота: $h_0 = 0$

Конечная высота: $h = H$

Конечная скорость: $v$

Масса тела: $m$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Доказать, что скорость тела на высоте $H$ определяется по формуле $v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$.

Решение:

Воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. При движении тела в поле силы тяжести, если пренебречь сопротивлением воздуха, его полная механическая энергия остается постоянной. Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \text{const}$

За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень горизонта, с которого было брошено тело.

В начальный момент времени (при $h_0 = 0$) тело имеет скорость $v_0$. Его полная механическая энергия $E_0$ равна:

$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = \frac{mv_0^2}{2} + 0 = \frac{mv_0^2}{2}$

На высоте $H$ над горизонтом тело будет иметь некоторую скорость $v$. Его полная механическая энергия $E$ в этой точке будет равна:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgH$

Согласно закону сохранения механической энергии, энергия в начальный момент времени равна энергии на высоте $H$:

$E_0 = E$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + mgH$

Для того чтобы найти скорость $v$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на массу $m$ (так как $m \neq 0$):

$\frac{v_0^2}{2} = \frac{v^2}{2} + gH$

Затем умножим обе части уравнения на 2:

$v_0^2 = v^2 + 2gH$

Выразим $v^2$:

$v^2 = v_0^2 - 2gH$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $v$:

$v = \sqrt{v_0^2 - 2gH}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Что и требовалось доказать.

* 514. Велосипедист едет по дороге и видит, что на его пути находится препятствие — стена. Что надо сделать велосипедисту, чтобы избежать аварии, — затормозить или повернуть (т. е. в каком случае он пройдёт меньшее расстояние по направлению к стене)? Учесть, что одновременно тормозить и поворачивать велосипедист не может.

Для ответа на вопрос необходимо сравнить, какое расстояние в направлении к стене проедет велосипедист в двух сценариях: при экстренном торможении и при резком повороте.

Дано:

$v_0$ - начальная скорость велосипедиста
$m$ - общая масса велосипедиста и велосипеда
$\mu$ - коэффициент трения между шинами и дорогой
$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

Сравнить расстояние, пройденное по направлению к стене при торможении ($s_1$) и при повороте ($s_2$).

Решение:

Ключевым фактором в обоих случаях является максимальная сила трения, которую может обеспечить сцепление шин с дорогой. Эта сила может быть направлена либо против движения (сила трения скольжения при торможении), либо перпендикулярно движению (сила трения покоя, обеспечивающая центростремительное ускорение при повороте). Будем считать, что максимальная величина этой силы в обоих случаях одинакова и равна $F_{тр.max} = \mu N = \mu mg$, где $N$ — сила нормальной реакции опоры.

Рассмотрим оба варианта действий велосипедиста.

Торможение

При торможении максимальная сила трения направлена против скорости, создавая замедление. Согласно второму закону Ньютона, максимальное ускорение (замедление) $a_1$, которое может быть достигнуто, равно:$a_1 = \frac{F_{тр.max}}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$

Тормозной путь $s_1$ (расстояние, которое пройдет велосипедист до полной остановки) можно найти из кинематической формулы $v_k^2 = v_0^2 + 2as$. Учитывая, что конечная скорость $v_k = 0$, а ускорение $a = -a_1 = -\mu g$ (направлено против начальной скорости), получаем:$0 = v_0^2 - 2(\mu g)s_1$

Отсюда расстояние, пройденное по направлению к стене:$s_1 = \frac{v_0^2}{2\mu g}$

Поворот

При повороте сила трения направлена к центру поворота (перпендикулярно скорости) и является центростремительной силой. По условию, велосипедист не может одновременно тормозить и поворачивать, значит, его скорость по модулю остается постоянной, $v=v_0$. Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности радиусом $R$, равна:$F_{цс} = \frac{mv_0^2}{R}$

Чтобы совершить наиболее резкий поворот (т.е. с минимальным радиусом $R_{min}$), велосипедист должен использовать максимальную силу трения:$F_{цс} = F_{тр.max} = \mu mg$

Приравнивая два выражения для силы, находим минимальный радиус поворота:$\frac{mv_0^2}{R_{min}} = \mu mg$$R_{min} = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Чтобы избежать столкновения со стеной, велосипедисту нужно изменить направление своего движения на 90 градусов, чтобы двигаться параллельно стене. Для этого ему нужно проехать четверть окружности. Смещение велосипедиста в первоначальном направлении (к стене) за время такого маневра будет равно радиусу этой окружности. Таким образом, расстояние, пройденное по направлению к стене в этом случае, равно $s_2 = R_{min}$.$s_2 = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Сравнение результатов

Сравним расстояния, пройденные по направлению к стене в обоих случаях:$s_1 = \frac{v_0^2}{2\mu g}$$s_2 = \frac{v_0^2}{\mu g}$

Легко видеть, что $s_2 = 2 \cdot s_1$.Это означает, что при торможении велосипедист пройдет в два раза меньшее расстояние по направлению к стене, чем при выполнении самого резкого поворота. Следовательно, торможение является более эффективным способом избежать аварии.

Ответ: Чтобы избежать аварии, велосипедисту следует тормозить. В этом случае расстояние, пройденное в направлении препятствия, будет в два раза меньше, чем при самом резком повороте.

► 515. Французский физик Мариотт провёл такой эксперимент: подвесив несколько шаров из слоновой кости на нитях равной длины так, чтобы шары соприкасались, он отклонял крайний шар и отпускал его. Этот шар наносил прямой центральный удар. Затем он отводил два шара и отпускал их. Что наблюдал при этом Мариотт? Как объяснить результат опыта? (Сделайте два рисунка: отклонен один шар, отклонены два шара. Для наглядности рассмотрите систему из четырёх шаров.)

Эксперимент, проведённый Мариоттом, является демонстрацией законов сохранения импульса и сохранения механической энергии. Устройство, состоящее из подвешенных шаров, известно как «колыбель Ньютона». Поскольку шары изготовлены из слоновой кости, их столкновения можно считать практически абсолютно упругими, то есть такими, при которых сохраняется не только суммарный импульс системы, но и её суммарная кинетическая энергия. Рассмотрим систему из четырёх шаров одинаковой массы $m$.

Отклонён один шар

В этом случае Мариотт наблюдал, что после удара первого шара о второй, промежуточные шары (второй и третий) остаются практически неподвижными, а с противоположного конца отскакивает только один, последний (четвертый) шар. Причём он поднимается на ту же высоту, с которой был отпущен первый шар.

Объяснение этого явления заключается в следующем. Отклоненный на высоту $h$ первый шар обладает потенциальной энергией $E_p = mgh$. При падении эта энергия переходит в кинетическую, и в момент удара скорость шара равна $v$, его импульс $p = mv$, а кинетическая энергия $E_k = \frac{1}{2}mv^2$. При абсолютно упругом столкновении одинаковых масс, налетающий шар останавливается, полностью передавая свой импульс и энергию покоящемуся шару. Этот процесс последовательно происходит по всей цепочке: первый шар передаёт импульс и энергию второму, второй — третьему, третий — четвертому. В результате последний, четвертый шар, приобретает скорость $v$ и отскакивает, поднимаясь на ту же высоту $h$, с которой начал движение первый шар. При этом законы сохранения импульса и энергии для всей системы выполняются.

Ответ: Мариотт наблюдал, что отскакивает один шар с противоположной стороны, поднимаясь на исходную высоту. Это объясняется последовательной передачей импульса и кинетической энергии от первого шара к последнему через промежуточные шары в результате упругих соударений.

Отклонены два шара

В этом случае Мариотт наблюдал, что после одновременного удара двух шаров о третий, первые два шара останавливаются, а с противоположного конца отскакивают тоже два шара (третий и четвертый), поднимаясь вместе на ту же высоту, с которой были отпущены первые два.

Объяснение таково: два шара, движущиеся вместе со скоростью $v$, обладают суммарным импульсом $p = (2m)v$ и суммарной кинетической энергией $E_k = \frac{1}{2}(2m)v^2 = mv^2$. Чтобы законы сохранения энергии и импульса выполнились одновременно, с другого конца должны отскочить ровно два шара. Если бы отскочил только один шар, то для сохранения импульса его скорость должна была бы быть $2v$, но тогда его кинетическая энергия $E'_k = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 2mv^2$ была бы вдвое больше исходной, что невозможно. Если же отскакивают два шара со скоростью $v'$, то закон сохранения импульса дает $(2m)v = (2m)v'$, то есть $v' = v$. При этом и кинетическая энергия сохраняется: $E'_k = \frac{1}{2}(2m)v'^2 = \frac{1}{2}(2m)v^2 = mv^2$. Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее обоим законам сохранения, — это отскок двух шаров.

Ответ: Мариотт наблюдал, что отскакивают два шара с противоположной стороны, поднимаясь вместе на исходную высоту. Это единственно возможный результат, при котором одновременно выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для упругого удара.