Страница 72 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

471. На рисунке 97 схематично изображена траектория движения камня, брошенного вертикально вверх из точки 1. В каком положении кинетическая энергия камня имеет максимальное значение? Трение не учитывать.

Рис. 97

Решение

Кинетическая энергия тела — это энергия движения, которая вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{1}{2}mv^2$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость. Из формулы видно, что кинетическая энергия прямо пропорциональна квадрату скорости. Следовательно, кинетическая энергия будет максимальной там, где скорость тела максимальна.

По условию задачи, трением можно пренебречь. В этом случае выполняется закон сохранения полной механической энергии, согласно которому сумма кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий тела остается постоянной в любой точке траектории:

$E = E_k + E_p = \text{const}$

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли зависит от высоты $h$ над поверхностью:

$E_p = mgh$

Из закона сохранения энергии следует, что для того, чтобы кинетическая энергия $E_k$ была максимальной, потенциальная энергия $E_p$ должна быть минимальной.

Проанализируем положение камня в разных точках, изображенных на рисунке:

• В точке 2 камень находится на максимальной высоте. Здесь его потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия минимальна (равна нулю, так как скорость в верхней точке полета равна нулю).
• Точки 1 и 3 находятся на одной и той же высоте, поэтому в этих точках у камня одинаковые значения как потенциальной, так и кинетической энергии.
• Точка 4 — самая низкая точка из представленных на траектории. В этой точке высота $h$ минимальна, следовательно, потенциальная энергия $E_p$ камня также минимальна.

Поскольку в точке 4 потенциальная энергия минимальна, то, согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия в этой точке будет иметь максимальное значение.

Ответ: Кинетическая энергия камня имеет максимальное значение в положении 4.

472. Два шара разной массы подняты на разную высоту относительно поверхности стола (рис. 98). Сравните потенциальные энергии шаров $E_1$ и $E_2$. Считать, что потенциальная энергия отсчитывается от уровня поверхности стола.

Рис. 98

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = 2m$

Высота первого шара над столом: $h_1 = 2h$

Масса второго шара: $m_2 = m$

Высота второго шара над столом: $h_2 = h$

Найти:

Сравнить потенциальные энергии шаров $E_1$ и $E_2$.

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью, определяется формулой:

$E_p = mgh$

где $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения, а $h$ – высота над уровнем, от которого отсчитывается энергия (в данном случае, над поверхностью стола).

Вычислим потенциальную энергию для первого шара ($E_1$):

$E_1 = m_1 g h_1 = (2m) \cdot g \cdot (2h) = 4mgh$

Вычислим потенциальную энергию для второго шара ($E_2$):

$E_2 = m_2 g h_2 = m \cdot g \cdot h = mgh$

Чтобы сравнить энергии $E_1$ и $E_2$, найдем их отношение:

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{4mgh}{mgh} = 4$

Таким образом, $E_1 = 4E_2$.

Ответ: Потенциальная энергия первого шара в 4 раза больше потенциальной энергии второго шара ($E_1 = 4E_2$).

473. На рисунке 99 представлены графики зависимости кинетических энергий двух тележек с грузами от их масс. Во сколько раз отличаются скорости движения тележек?

Рис. 99

Дано:

График зависимости кинетической энергии $E_к$ от массы $m$ для двух тележек (I и II). Все величины представлены в системе СИ (энергия в Джоулях, масса в килограммах).

Найти:

Отношение скоростей движения тележек $\frac{v_1}{v_2}$.

Решение:

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле:

$E_к = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Из этой формулы можно выразить скорость:

$v = \sqrt{\frac{2E_к}{m}}$

Для нахождения отношения скоростей воспользуемся данными с графика. Можно использовать два способа.

Способ 1. Сравнение при одинаковой массе

Выберем на оси абсцисс произвольное значение массы, например, $m = 0.4$ кг. По графику определим соответствующие значения кинетической энергии для каждой тележки:

• Для тележки I (график I): при $m = 0.4$ кг, $E_{к1} = 1.6$ Дж.
• Для тележки II (график II): при $m = 0.4$ кг, $E_{к2} = 0.8$ Дж.

Теперь найдем отношение их скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{2E_{к1}}{m}}}{\sqrt{\frac{2E_{к2}}{m}}} = \sqrt{\frac{E_{к1}}{E_{к2}}}$

Подставим найденные значения энергии:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1.6 \text{ Дж}}{0.8 \text{ Дж}}} = \sqrt{2}$

Способ 2. Сравнение при одинаковой кинетической энергии

Выберем на оси ординат произвольное значение кинетической энергии, например, $E_к = 1.6$ Дж. По графику определим соответствующие значения массы для каждой тележки:

• Для тележки I (график I): при $E_к = 1.6$ Дж, $m_1 = 0.4$ кг.
• Для тележки II (график II): при $E_к = 1.6$ Дж, $m_2 = 0.8$ кг.

Так как кинетические энергии равны ($E_{к1} = E_{к2}$), мы можем записать:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$

$m_1 v_1^2 = m_2 v_2^2$

Отсюда выразим отношение квадратов скоростей:

$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{m_2}{m_1}$

Тогда отношение скоростей равно:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Подставим найденные значения масс:

$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{0.8 \text{ кг}}{0.4 \text{ кг}}} = \sqrt{2}$

Оба способа показывают, что скорость первой тележки больше скорости второй в $\sqrt{2}$ раз.

Ответ: Скорости движения тележек отличаются в $\sqrt{2}$ раз (скорость первой тележки больше), что приблизительно равно 1.41.

474. Три металлических шара одинаковых размеров — свинцовый, стальной и алюминиевый — подняты на одну и ту же высоту над поверхностью стола. Какой шар имеет минимальную потенциальную энергию? Почему? Потенциальную энергию отсчитывать от поверхности стола.

Дано:

Три шара одинаковых размеров (объемов $V$): свинцовый, стальной и алюминиевый.
Высота подъема над столом одинакова для всех шаров: $h$.
Плотности материалов:
Плотность алюминия: $\rho_{ал} = 2700$ кг/м³
Плотность стали: $\rho_{ст} = 7850$ кг/м³
Плотность свинца: $\rho_{св} = 11340$ кг/м³

Найти:

Какой шар имеет минимальную потенциальную энергию? Почему?

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью отсчета, вычисляется по формуле:

$E_p = mgh$

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота, на которую поднято тело.

В условии задачи сказано, что все три шара подняты на одну и ту же высоту $h$. Ускорение свободного падения $g$ также является одинаковой величиной для всех трех шаров. Из формулы видно, что при одинаковых $g$ и $h$ потенциальная энергия $E_p$ прямо пропорциональна массе тела $m$. Это означает, что тело с наименьшей массой будет обладать наименьшей потенциальной энергией.

Массу тела можно определить через его объем $V$ и плотность материала $\rho$ по формуле:

$m = \rho V$

Так как все шары имеют одинаковые размеры, их объемы $V$ равны. Следовательно, масса шара прямо пропорциональна плотности материала, из которого он сделан. Шар, изготовленный из материала с наименьшей плотностью, будет иметь наименьшую массу.

Сравним плотности данных металлов:

$\rho_{ал} (2700 \text{ кг/м³}) < \rho_{ст} (7850 \text{ кг/м³}) < \rho_{св} (11340 \text{ кг/м³})$

Наименьшей плотностью обладает алюминий. Поэтому алюминиевый шар при том же объеме будет иметь наименьшую массу по сравнению со стальным и свинцовым шарами.

Так как потенциальная энергия прямо пропорциональна массе, то алюминиевый шар будет иметь минимальную потенциальную энергию.

Ответ: Минимальную потенциальную энергию имеет алюминиевый шар. Это объясняется тем, что потенциальная энергия ($E_p = mgh$) при одинаковой высоте подъема ($h$) прямо пропорциональна массе ($m$). Поскольку шары имеют одинаковый объем, наименьшей массой обладает шар из материала с наименьшей плотностью, которым в данном случае является алюминий.

* 475. Два сплошных шара одинакового объёма — алюминиевый и медный — падают с одинаковой высоты из состояния покоя. Сравните кинетические энергии $E_1$ и $E_2$, скорости шаров $v_1$ и $v_2$ непосредственно перед ударом о землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

Дано:

Алюминиевый шар (индекс 1) и медный шар (индекс 2).

Объемы шаров равны: $V_1 = V_2 = V$.

Шары падают с одинаковой высоты: $h_1 = h_2 = h$.

Начальные скорости равны нулю (состояние покоя): $v_{0,1} = v_{0,2} = 0$.

Плотность алюминия - $\rho_1$, плотность меди - $\rho_2$.

Из справочных данных известно, что $\rho_2 > \rho_1$.

Сопротивление воздуха не учитывается.

Найти:

Сравнить скорости $v_1$ и $v_2$, а также кинетические энергии $E_1$ и $E_2$ шаров непосредственно перед ударом о землю.

Решение:

Сравнение скоростей шаров $v_1$ и $v_2$

Так как по условию сопротивление воздуха не учитывается, единственной силой, действующей на шары во время падения, является сила тяжести. Это означает, что оба шара находятся в состоянии свободного падения и движутся с одинаковым ускорением свободного падения $g$.

Скорость тела, падающего с высоты $h$ из состояния покоя, можно найти по формуле, не зависящей от массы: $v = \sqrt{2gh}$.

Поскольку начальные скорости шаров равны нулю, и они падают с одинаковой высоты $h$, их скорости непосредственно перед ударом о землю будут одинаковыми.

Это также следует из закона сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия $E_p = mgh$ полностью переходит в конечную кинетическую энергию $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

Масса $m$ сокращается, и мы снова получаем $v = \sqrt{2gh}$.

Таким образом, $v_1 = v_2$.

Ответ: Скорости шаров непосредственно перед ударом о землю равны: $v_1 = v_2$.

Сравнение кинетических энергий $E_1$ и $E_2$

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{1}{2}mv^2$.

Для алюминиевого шара: $E_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2$.

Для медного шара: $E_2 = \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

Как мы выяснили в предыдущем пункте, скорости шаров равны: $v_1 = v_2 = v$.

Теперь сравним массы шаров. Масса тела определяется как произведение его плотности $\rho$ на объем $V$: $m = \rho V$.

Масса алюминиевого шара: $m_1 = \rho_1 V$.

Масса медного шара: $m_2 = \rho_2 V$.

По условию объемы шаров одинаковы. Плотность меди ($\rho_2 \approx 8960 \, \text{кг/м}^3$) значительно больше плотности алюминия ($\rho_1 \approx 2700 \, \text{кг/м}^3$), то есть $\rho_2 > \rho_1$.

Отсюда следует, что масса медного шара больше массы алюминиевого: $m_2 > m_1$.

Так как скорости $v$ шаров равны, а масса медного шара $m_2$ больше массы алюминиевого $m_1$, то и его кинетическая энергия будет больше.

$E_2 = \frac{1}{2}m_2v^2 > \frac{1}{2}m_1v^2 = E_1$.

Ответ: Кинетическая энергия медного шара больше кинетической энергии алюминиевого шара: $E_2 > E_1$.