Страница 78 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

516. Мальчик качается на качелях сидя. Изменится ли период колебания, если: а) он будет качаться стоя; б) подсядет еще один мальчик?

Решение

Качели с мальчиком можно рассматривать как физический маятник. Для качественного анализа удобно воспользоваться формулой периода колебаний математического маятника, которая хорошо описывает зависимость периода от ключевых параметров:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – это расстояние от точки подвеса качелей до общего центра масс системы «качели-мальчик», а $g$ – ускорение свободного падения. Из этой формулы следует, что период колебаний зависит от эффективной длины маятника $l$ и не зависит от его массы $m$.

а) он будет качаться стоя

Когда мальчик сидит, его центр масс находится на определенной высоте. Когда он встает на сиденье качелей, его центр масс поднимается. В результате общий центр масс всей системы (мальчик + качели) также смещается вверх, становясь ближе к точке подвеса. Это приводит к уменьшению эффективной длины маятника $l$. Так как период колебаний $T$ пропорционален квадратному корню из длины ($T \sim \sqrt{l}$), его значение уменьшится. Качели будут качаться быстрее.

Ответ: Да, изменится. Период колебаний уменьшится.

б) подсядет еще один мальчик

Если на качели подсядет еще один мальчик, общая масса колеблющейся системы увеличится. Однако положение общего центра масс системы практически не изменится, так как оба мальчика будут сидеть на одной и той же высоте. Следовательно, эффективная длина маятника $l$ останется практически прежней. Поскольку период колебаний в используемой модели не зависит от массы, он не изменится при ее увеличении.

Ответ: Нет, не изменится. Период колебаний останется прежним.

517. Будут отставать или идти вперёд часы с секундным маятником, если их перевезти из Москвы в Архангельск; с экватора на полюс?

Решение

Ход маятниковых часов определяется периодом колебаний маятника. Для математического маятника период колебаний $T$ вычисляется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — это длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения. В конкретных часах длина маятника $l$ является постоянной величиной. Таким образом, период колебаний маятника, а значит и ход часов, зависит от местного значения ускорения свободного падения $g$.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли не везде одинаково. Оно зависит от географической широты: из-за того, что Земля сплюснута у полюсов, и из-за ее вращения, значение $g$ минимально на экваторе (около $9,78 \, \text{м/с}^2$) и максимально на полюсах (около $9,83 \, \text{м/с}^2$). При увеличении географической широты, то есть при движении от экватора к полюсу, ускорение свободного падения $g$ возрастает.

Из формулы видно, что период $T$ обратно пропорционален квадратному корню из $g$. Это означает, что:

• Если $g$ увеличивается, то период колебаний $T$ уменьшается. Маятник колеблется быстрее, и часы идут вперёд (спешат).
• Если $g$ уменьшается, то период колебаний $T$ увеличивается. Маятник колеблется медленнее, и часы отстают.

...если их перевезти из Москвы в Архангельск

Архангельск расположен севернее Москвы, то есть на большей географической широте. Это означает, что ускорение свободного падения в Архангельске ($g_А$) будет больше, чем в Москве ($g_М$): $g_А > g_М$.

Поскольку ускорение свободного падения увеличится, период колебаний маятника уменьшится. Маятник будет качаться быстрее, и часы начнут идти вперёд.

Ответ: часы будут идти вперёд.

...с экватора на полюс

При перемещении часов с экватора на полюс происходит максимальное возможное увеличение географической широты на Земле (с 0° до 90°). Соответственно, ускорение свободного падения $g$ возрастает от своего минимального значения до максимального: $g_{полюс} > g_{экватор}$.

Значительное увеличение $g$ приведёт к уменьшению периода колебаний маятника $T$. В результате часы будут идти значительно быстрее.

Ответ: часы будут идти вперёд.

518. Тело совершает колебания на пружине. Чему равно максимальное значение потенциальной энергии сжатой пружины, если максимальное значение кинетической энергии колеблющегося тела равно 180 Дж?

Дано:

Максимальное значение кинетической энергии $E_{к,max} = 180$ Дж.

Найти:

Максимальное значение потенциальной энергии пружины $E_{п,max}$ - ?

Решение:

Колебания тела на пружине представляют собой процесс, в котором происходит непрерывное превращение энергии из одного вида в другой: кинетической энергии движения тела в потенциальную энергию упругой деформации пружины и обратно.

Полная механическая энергия $E$ такой колебательной системы в любой момент времени равна сумме кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий:

$E = E_к + E_п$

Согласно закону сохранения энергии, при отсутствии сил трения и сопротивления воздуха полная механическая энергия системы остается постоянной ($E = const$).

В момент прохождения телом положения равновесия его скорость максимальна, а деформация пружины равна нулю. В этой точке кинетическая энергия достигает своего максимального значения ($E_к = E_{к,max}$), а потенциальная энергия равна нулю ($E_п = 0$). Таким образом, полная энергия системы равна максимальной кинетической энергии:

$E = E_{к,max} + 0 = E_{к,max}$

В крайних точках траектории, где смещение от положения равновесия максимально (равно амплитуде), тело на мгновение останавливается, и его скорость становится равной нулю. В этих точках кинетическая энергия равна нулю ($E_к = 0$), а потенциальная энергия деформированной пружины достигает своего максимального значения ($E_п = E_{п,max}$). Таким образом, полная энергия системы также равна максимальной потенциальной энергии:

$E = 0 + E_{п,max} = E_{п,max}$

Поскольку полная энергия системы сохраняется, мы можем приравнять ее выражения для этих двух моментов времени:

$E_{к,max} = E_{п,max}$

По условию задачи, максимальное значение кинетической энергии равно 180 Дж. Следовательно, максимальное значение потенциальной энергии пружины также будет равно 180 Дж.

$E_{п,max} = 180$ Дж.

Ответ: максимальное значение потенциальной энергии сжатой пружины равно 180 Дж.

519. Самостоятельно проследите превращение энергии при колебаниях математического маятника и заполните таблицу.

Время

0 | $\frac{1}{4}T$ | $\frac{2}{4}T$ | $\frac{3}{4}T$ | $T$

Положение маятника

| | | |

Смещение

+ — наибольшее вправо | | | |

Скорость

0 — наименьшая | | | |

Энергия

$E_{\text{п}}$ Наибольшая | | | |

$E_{\text{к}}$ Наименьшая | | | |

При колебаниях математического маятника (в отсутствие сил трения и сопротивления воздуха) полная механическая энергия сохраняется. Она постоянно переходит из потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Потенциальная энергия ($E_п$) максимальна в точках крайнего отклонения, где высота подъема максимальна, а скорость равна нулю. Кинетическая энергия ($E_к$) максимальна в момент прохождения положения равновесия, где скорость максимальна, а высота подъема (и, следовательно, потенциальная энергия) принимается за ноль.

Проследим изменение характеристик маятника за один период колебаний $T$.

Время t = 0

Это начальный момент, данные для которого приведены в таблице.

• Положение маятника: Крайнее правое.
• Смещение: Наибольшее вправо (+).
• Скорость: Наименьшая (равна 0).
• Энергия $E_п$: Наибольшая.
• Энергия $E_к$: Наименьшая (равна 0).

Ответ: Вся механическая энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии.

Время t = 1/4 T

Маятник совершил четверть колебания и проходит положение равновесия.

• Положение маятника: Положение равновесия (вертикальное).
• Смещение: Равно 0.
• Скорость: Наибольшая.
• Энергия $E_п$: Наименьшая (равна 0).
• Энергия $E_к$: Наибольшая.

Ответ: Вся потенциальная энергия перешла в кинетическую.

Время t = 2/4 T = 1/2 T

Маятник совершил половину колебания и достиг крайнего левого положения.

• Положение маятника: Крайнее левое.
• Смещение: Наибольшее влево (–).
• Скорость: Наименьшая (равна 0).
• Энергия $E_п$: Наибольшая.
• Энергия $E_к$: Наименьшая (равна 0).

Ответ: Вся кинетическая энергия перешла обратно в потенциальную.

Время t = 3/4 T

Маятник совершил три четверти колебания и снова проходит положение равновесия, двигаясь вправо.

• Положение маятника: Положение равновесия (вертикальное).
• Смещение: Равно 0.
• Скорость: Наибольшая.
• Энергия $E_п$: Наименьшая (равна 0).
• Энергия $E_к$: Наибольшая.

Ответ: Вся потенциальная энергия снова перешла в кинетическую.

Время t = T

Маятник завершил одно полное колебание и вернулся в исходную точку.

• Положение маятника: Крайнее правое.
• Смещение: Наибольшее вправо (+).
• Скорость: Наименьшая (равна 0).
• Энергия $E_п$: Наибольшая.
• Энергия $E_к$: Наименьшая (равна 0).

Ответ: Маятник вернулся в исходное состояние, вся кинетическая энергия опять перешла в потенциальную.