Страница 73 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

476. По графику зависимости силы упругости пружины от удлинения (рис. 100) рассчитайте: а) жёсткость пружины; б) силу упругости, возникающую при растяжении пружины на 3 см; 5 см; в) потенциальную энергию пружины, сжатой на 2 см; 5 см.

Рис. 100

Дано:

График зависимости силы упругости $F_{упр}$ от удлинения пружины $x$.

Для пункта б):

$x_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$x_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Для пункта в):

$x_3 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$x_4 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

а) жёсткость пружины $k$

б) силу упругости $F_{упр1}$ и $F_{упр2}$ при растяжении на $x_1$ и $x_2$

в) потенциальную энергию $E_{p1}$ и $E_{p2}$ при сжатии на $x_3$ и $x_4$

Решение:

а) жёсткость пружины

Согласно закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна удлинению пружины: $F_{упр} = kx$, где $k$ – жёсткость пружины. Жёсткость можно найти как тангенс угла наклона графика к оси абсцисс. Выберем на графике удобную точку для расчётов, например, точку, где удлинение $x = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$. Из графика видно, что этой точке соответствует сила упругости $F_{упр} = 200 \text{ Н}$.
Тогда жёсткость пружины равна:
$k = \frac{F_{упр}}{x} = \frac{200 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 10000 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Ответ: жëсткость пружины равна $10000 \text{ Н/м}$ (или $10 \text{ кН/м}$).

б) силу упругости, возникающую при растяжении пружины на 3 см; 5 см

Силу упругости можно найти по графику или рассчитать, используя найденную жёсткость $k$ и закон Гука $F_{упр} = kx$.
При растяжении на $x_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$:
По графику: при $x = 3 \text{ см}$ сила $F_{упр} = 300 \text{ Н}$.
По формуле: $F_{упр1} = kx_1 = 10000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 0.03 \text{ м} = 300 \text{ Н}$.
При растяжении на $x_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$:
По графику: при $x = 5 \text{ см}$ сила $F_{упр} = 500 \text{ Н}$.
По формуле: $F_{упр2} = kx_2 = 10000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 0.05 \text{ м} = 500 \text{ Н}$.

Ответ: при растяжении на 3 см сила упругости составляет 300 Н; при растяжении на 5 см – 500 Н.

в) потенциальную энергию пружины, сжатой на 2 см; 5 см

Потенциальная энергия упруго деформированного тела (пружины) вычисляется по формуле: $E_p = \frac{kx^2}{2}$. Эта формула справедлива как для растяжения, так и для сжатия.
При сжатии на $x_3 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$:
$E_{p1} = \frac{k{x_3}^2}{2} = \frac{10000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0.02 \text{ м})^2}{2} = \frac{10000 \cdot 0.0004}{2} \text{ Дж} = \frac{4}{2} \text{ Дж} = 2 \text{ Дж}$.
При сжатии на $x_4 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$:
$E_{p2} = \frac{k{x_4}^2}{2} = \frac{10000 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{10000 \cdot 0.0025}{2} \text{ Дж} = \frac{25}{2} \text{ Дж} = 12.5 \text{ Дж}$.

Ответ: потенциальная энергия пружины, сжатой на 2 см, равна 2 Дж; сжатой на 5 см – 12.5 Дж.

477. К динамометру подвешен груз массой 0,1 кг. Определите потенциальную энергию растянутой пружины. На сколько изменится потенциальная энергия пружины, если к динамометру подвесить груз массой 0,3 кг?

Дано:

$m_1 = 0,1$ кг

$m_2 = 0,3$ кг

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$E_{p1}$ - ?

$\frac{E_{p2}}{E_{p1}}$ - ?

Решение:

Определите потенциальную энергию растянутой пружины.

Когда груз подвешен к динамометру, система находится в равновесии. Сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругоosti пружины.

Сила тяжести для первого груза: $F_{т1} = m_1 g$.

По закону Гука, сила упругости пружины: $F_{упр1} = kx_1$, где $k$ – жесткость пружины, а $x_1$ – ее удлинение.

В состоянии равновесия $F_{упр1} = F_{т1}$, следовательно, $kx_1 = m_1g$.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле: $E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2}$.

Чтобы выразить энергию через известные величины, можно использовать другую формулу, полученную из предыдущих: $E_{p1} = \frac{F_{упр1}^2}{2k}$.

Так как $F_{упр1} = m_1g$, получаем: $E_{p1} = \frac{(m_1g)^2}{2k}$.

Подставим числовые значения: $E_{p1} = \frac{(0,1 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2)^2}{2k} = \frac{(0,98 \, \text{Н})^2}{2k} = \frac{0,9604}{2k} = \frac{0,4802}{k}$ Дж.

Поскольку жесткость пружины $k$ не задана, определить точное числовое значение потенциальной энергии невозможно. Ответ можно выразить только через $k$.

Ответ: Потенциальная энергия пружины равна $E_{p1} = \frac{0,4802}{k}$ Дж, где $k$ – жесткость пружины в Н/м.

На сколько изменится потенциальная энергия пружины, если к динамометру подвесить груз массой 0,3 кг?

Аналогично первому случаю, найдем потенциальную энергию пружины для груза массой $m_2$: $E_{p2} = \frac{(m_2g)^2}{2k}$.

Вопрос "на сколько изменится" может означать либо разность энергий ($E_{p2} - E_{p1}$), либо их отношение ($\frac{E_{p2}}{E_{p1}}$). Поскольку разность будет зависеть от неизвестной жесткости $k$, а отношение – нет, логично предположить, что требуется найти, во сколько раз изменится энергия.

Найдем отношение потенциальных энергий: $\frac{E_{p2}}{E_{p1}} = \frac{(m_2g)^2 / (2k)}{(m_1g)^2 / (2k)} = \frac{(m_2g)^2}{(m_1g)^2} = \frac{m_2^2 g^2}{m_1^2 g^2} = (\frac{m_2}{m_1})^2$.

Подставим значения масс: $\frac{E_{p2}}{E_{p1}} = (\frac{0,3 \, \text{кг}}{0,1 \, \text{кг}})^2 = 3^2 = 9$.

Таким образом, при замене груза массой 0,1 кг на груз массой 0,3 кг потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.

Ответ: Потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.

478. Как изменится потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении его деформации в 4 раза; уменьшении деформации в 2 раза?

Потенциальная энергия упруго деформированного тела вычисляется по формуле:

$E_п = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ — коэффициент жесткости тела, а $x$ — величина его деформации (растяжение или сжатие). Из формулы видно, что потенциальная энергия $E_п$ прямо пропорциональна квадрату деформации $x^2$.

увеличении его деформации в 4 раза

Дано:

$x_2 = 4x_1$

Найти:

$\frac{E_{п2}}{E_{п1}}$ - ?

Решение:

Пусть начальная потенциальная энергия при деформации $x_1$ равна $E_{п1} = \frac{kx_1^2}{2}$.
Новая деформация $x_2$ в 4 раза больше начальной: $x_2 = 4x_1$.
Тогда новая потенциальная энергия $E_{п2}$ будет равна:
$E_{п2} = \frac{kx_2^2}{2} = \frac{k(4x_1)^2}{2} = \frac{k \cdot 16x_1^2}{2} = 16 \cdot (\frac{kx_1^2}{2})$
Подставив выражение для $E_{п1}$, получим:
$E_{п2} = 16 \cdot E_{п1}$
Следовательно, отношение энергий составляет:
$\frac{E_{п2}}{E_{п1}} = 16$
Это значит, что при увеличении деформации в 4 раза, потенциальная энергия увеличится в 16 раз.

Ответ: потенциальная энергия увеличится в 16 раз.

уменьшении деформации в 2 раза

Дано:

$x_3 = \frac{x_1}{2}$

Найти:

$\frac{E_{п3}}{E_{п1}}$ - ?

Решение:

Начальная потенциальная энергия при деформации $x_1$ по-прежнему равна $E_{п1} = \frac{kx_1^2}{2}$.
Новая деформация $x_3$ в 2 раза меньше начальной: $x_3 = \frac{x_1}{2}$.
Тогда новая потенциальная энергия $E_{п3}$ будет равна:
$E_{п3} = \frac{kx_3^2}{2} = \frac{k(\frac{x_1}{2})^2}{2} = \frac{k \cdot \frac{x_1^2}{4}}{2} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{kx_1^2}{2})$
Подставив выражение для $E_{п1}$, получим:
$E_{п3} = \frac{1}{4} \cdot E_{п1}$
Следовательно, отношение энергий составляет:
$\frac{E_{п3}}{E_{п1}} = \frac{1}{4}$
Это значит, что при уменьшении деформации в 2 раза, потенциальная энергия уменьшится в 4 раза.

Ответ: потенциальная энергия уменьшится в 4 раза.

479. Какая работа должна быть совершена для разгона мотоцикла массой 250 кг из состояния покоя до скорости 108 км/ч?

Дано:

Масса мотоцикла, $m = 250$ кг

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с (из состояния покоя)

Конечная скорость, $v = 108$ км/ч

$v = 108 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 108 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1080}{36} \text{ м/с} = 30 \text{ м/с}$

Найти:

Работу $A$

Решение:

Работа, совершаемая для разгона тела, идет на изменение его кинетической энергии. Это следует из теоремы о кинетической энергии:

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

где $E_{k1}$ — начальная кинетическая энергия, а $E_{k2}$ — конечная кинетическая энергия.

Поскольку мотоцикл начинает движение из состояния покоя, его начальная скорость $v_0 = 0$, и, следовательно, начальная кинетическая энергия также равна нулю:

$E_{k1} = \frac{mv_0^2}{2} = \frac{250 \text{ кг} \cdot (0 \text{ м/с})^2}{2} = 0$ Дж

Таким образом, работа, совершённая для разгона, равна конечной кинетической энергии мотоцикла:

$A = E_{k2} = \frac{mv^2}{2}$

Подставим значения в формулу, используя скорость, переведенную в систему СИ ($v = 30$ м/с):

$A = \frac{250 \text{ кг} \cdot (30 \text{ м/с})^2}{2}$

$A = \frac{250 \cdot 900}{2} = 125 \cdot 900 = 112500$ Дж

Результат можно выразить в килоджоулях (кДж), зная, что 1 кДж = 1000 Дж:

$A = \frac{112500}{1000} \text{ кДж} = 112.5 \text{ кДж}$

Ответ: для разгона мотоцикла должна быть совершена работа, равная $112.5$ кДж.

► 480. С некоторой высоты падает мяч. Используя динамометр и измерительную ленту, определите кинетическую энергию мяча в момент достижения им пола. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение

Для определения кинетической энергии мяча в момент достижения им пола воспользуемся законом сохранения механической энергии. Согласно условию, сопротивлением воздуха можно пренебречь, а это значит, что полная механическая энергия системы (мяч-Земля) в процессе падения сохраняется.

Порядок действий будет следующим:

1. С помощью динамометра необходимо измерить силу тяжести, действующую на мяч, то есть его вес $P$. По определению, вес тела связан с его массой $m$ и ускорением свободного падения $g$ соотношением $P = mg$.

2. С помощью измерительной ленты нужно измерить высоту $h$, с которой мяч начинает свое падение. Высота измеряется от начального положения мяча до поверхности пола.

3. В начальный момент времени, когда мяч находится на высоте $h$, он обладает потенциальной энергией $E_п = mgh$. Так как мяч начинает падать из состояния покоя, его начальная скорость равна нулю, и, следовательно, начальная кинетическая энергия тоже равна нулю. Таким образом, полная механическая энергия мяча в начальный момент равна его потенциальной энергии:

$E_{полная_1} = E_п = mgh$

4. В конечный момент времени, непосредственно перед ударом о пол, высота мяча равна нулю ($h = 0$), поэтому его потенциальная энергия также равна нулю. Вся его механическая энергия в этот момент представлена кинетической энергией $E_к$.

$E_{полная_2} = E_к$

5. По закону сохранения механической энергии, полная энергия в начальный момент времени равна полной энергии в конечный момент времени:

$E_{полная_1} = E_{полная_2}$

Следовательно, мы можем приравнять выражения для энергии:

$mgh = E_к$

6. Вспомним, что с помощью динамометра мы измерили вес мяча $P = mg$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$E_к = P \cdot h$

Таким образом, для определения кинетической энергии мяча в момент падения необходимо перемножить его вес, измеренный динамометром, на высоту падения, измеренную лентой.

Ответ: Чтобы определить кинетическую энергию мяча в момент достижения им пола, необходимо с помощью динамометра измерить вес мяча $P$, с помощью измерительной ленты измерить высоту падения $h$, и затем рассчитать их произведение. Искомая кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_к = P \cdot h$.

► 481. Стальной шарик скатывается по наклонному желобу. Имея весы и измерительную ленту, определите потенциальную энергию шарика относительно поверхности стола в начале движения и кинетическую энергию в конце движения без учёта трения. В какой точке жёлоба кинетическая энергия будет равна потенциальной? Определите потенциальную энергию в этой точке.

Определение потенциальной энергии шарика в начале движения.Для определения потенциальной энергии шарика в начале движения необходимо воспользоваться формулой потенциальной энергии тела, поднятого над землей: $E_p = mgh$. В этой формуле $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения (константа, примерно равная $9,8 \text{ м/с}^2$), $h$ – высота тела над нулевым уровнем (в данном случае – поверхностью стола). С помощью имеющихся инструментов нужно провести следующие измерения:
1. Используя весы, измерить массу стального шарика $m$.
2. Используя измерительную ленту, измерить начальную высоту $h_1$, на которой находится шарик, относительно поверхности стола.
Подставив полученные значения в формулу, можно рассчитать начальную потенциальную энергию $E_{p_1} = mgh_1$.

Ответ: Потенциальную энергию в начале движения можно определить, измерив массу шарика ($m$) с помощью весов и начальную высоту ($h_1$) с помощью измерительной ленты, а затем вычислив её по формуле $E_{p_1} = mgh_1$.

Определение кинетической энергии в конце движения.Согласно условию, трение не учитывается. В этом случае для шарика выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия в любой точке траектории равна сумме потенциальной и кинетической энергий ($E = E_p + E_k$) и остается постоянной.
В начальный момент времени шарик покоится, поэтому его начальная кинетическая энергия $E_{k_1} = 0$, а полная энергия равна начальной потенциальной энергии: $E_{полная} = E_{p_1} = mgh_1$.
В конце движения, когда шарик достигает поверхности стола, его высота становится равной нулю ($h_2 = 0$), следовательно, и его потенциальная энергия равна нулю ($E_{p_2} = 0$). Вся механическая энергия переходит в кинетическую. Таким образом, полная энергия в конце движения равна конечной кинетической энергии $E_{k_2}$.
По закону сохранения энергии: $E_{полная} = E_{k_2}$.
Отсюда следует, что $E_{k_2} = E_{p_1} = mgh_1$.

Ответ: Кинетическая энергия шарика в конце движения равна его потенциальной энергии в начале движения: $E_{k_2} = mgh_1$.

Определение точки, в которой кинетическая энергия равна потенциальной.Пусть искомая точка находится на некоторой высоте $h_x$ над столом. В этой точке потенциальная энергия шарика равна $E_{p_x} = mgh_x$, а кинетическая – $E_{k_x}$.
По условию, в этой точке $E_{k_x} = E_{p_x}$.
Полная механическая энергия в этой точке по закону сохранения энергии равна начальной полной энергии:
$E_{p_x} + E_{k_x} = E_{p_1}$
Подставим условие $E_{k_x} = E_{p_x}$ в это уравнение:
$E_{p_x} + E_{p_x} = E_{p_1}$
$2E_{p_x} = E_{p_1}$
Теперь распишем энергии через массу и высоту:
$2(mgh_x) = mgh_1$
Сократив обе части уравнения на $mg$, получим:
$2h_x = h_1$
$h_x = \frac{h_1}{2}$

Ответ: Кинетическая энергия будет равна потенциальной в точке, находящейся на высоте, равной половине начальной высоты ($h_x = \frac{h_1}{2}$). Эту точку можно найти, измерив половину начальной высоты с помощью измерительной ленты.

Определение потенциальной энергии в этой точке.Как было найдено в предыдущем пункте, в точке, где кинетическая энергия равна потенциальной, выполняется соотношение:
$2E_{p_x} = E_{p_1}$
Отсюда можно выразить потенциальную энергию в искомой точке $E_{p_x}$:
$E_{p_x} = \frac{E_{p_1}}{2}$
Таким образом, потенциальная энергия в этой точке равна половине начальной потенциальной энергии.

Ответ: Потенциальная энергия в точке, где она равна кинетической энергии, составляет половину от начальной потенциальной энергии шарика: $E_{p_x} = \frac{mgh_1}{2}$.

► 482. Используя измерительный цилиндр с водой, определите, какое тело обладает большей потенциальной энергией относительно стола и во сколько раз: брусок алюминия или брусок свинца, лежащие на одном подъёмном столике. Для проверки результатов проведите исследование, используя весы с набором разновесов и линейку.

Дано:

Брусок алюминия (ал)

Брусок свинца (св)

Плотность алюминия, $ \rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3 $

Плотность свинца, $ \rho_{св} = 11300 \text{ кг/м}^3 $

Бруски находятся на одной высоте относительно стола, $ h_{ал} = h_{св} = h $

Ускорение свободного падения, $ g \approx 9.8 \text{ м/с}^2 $

Найти:

1. Какой брусок обладает большей потенциальной энергией $ E_p $?

2. Во сколько раз их потенциальные энергии отличаются (найти отношение $ \frac{E_{p,max}}{E_{p,min}} $)?

Решение:

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью, определяется формулой:

$ E_p = mgh $

где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения, $ h $ — высота тела над нулевым уровнем (в данном случае, над столом).

Поскольку оба бруска (алюминиевый и свинцовый) лежат на одном подъёмном столике, их высота $ h $ относительно стола одинакова. Ускорение свободного падения $ g $ также является постоянной величиной. Следовательно, потенциальная энергия каждого бруска прямо пропорциональна его массе:

$ E_p \sim m $

Это означает, что тело с большей массой будет обладать большей потенциальной энергией. Отношение их потенциальных энергий будет равно отношению их масс:

$ \frac{E_{p,св}}{E_{p,ал}} = \frac{m_{св}gh}{m_{ал}gh} = \frac{m_{св}}{m_{ал}} $

Чтобы определить, у какого бруска масса больше, и найти их отношение, можно воспользоваться предложенными в задаче методами.

1. Использование измерительного цилиндра с водой.

Этот метод позволяет определить объём тел. Погружая поочередно каждый брусок в измерительный цилиндр с водой, мы можем измерить их объемы ($ V_{ал} $ и $ V_{св} $) по изменению уровня воды.

Масса тела связана с его объемом и плотностью по формуле $ m = \rho V $.

В условии задачи не указано, одинаковы ли размеры брусков. Предположим, что для сравнения взяты бруски одинакового объема, что часто подразумевается в таких задачах. Если $ V_{ал} = V_{св} = V $, то массы брусков будут равны:

$ m_{ал} = \rho_{ал}V $

$ m_{св} = \rho_{св}V $

Сравним плотности алюминия и свинца:

$ \rho_{св} = 11300 \text{ кг/м}^3 $

$ \rho_{ал} = 2700 \text{ кг/м}^3 $

Поскольку $ \rho_{св} > \rho_{ал} $, то при равных объемах масса свинцового бруска будет больше массы алюминиевого: $ m_{св} > m_{ал} $. Следовательно, и потенциальная энергия свинцового бруска будет больше.

Найдем, во сколько раз больше:

$ \frac{E_{p,св}}{E_{p,ал}} = \frac{m_{св}}{m_{ал}} = \frac{\rho_{св}V}{\rho_{ал}V} = \frac{\rho_{св}}{\rho_{ал}} = \frac{11300 \text{ кг/м}^3}{2700 \text{ кг/м}^3} \approx 4.19 $

Таким образом, потенциальная энергия свинцового бруска примерно в 4,2 раза больше.

2. Проверка с помощью весов с набором разновесов и линейки.

Это прямой экспериментальный метод проверки.

• Весы с набором разновесов позволяют напрямую измерить массу каждого бруска ($ m_{ал} $ и $ m_{св} $). Сравнив полученные значения, мы определим, какой брусок имеет большую массу и, следовательно, большую потенциальную энергию. Рассчитав отношение масс $ \frac{m_{св}}{m_{ал}} $, мы найдем отношение их потенциальных энергий. Этот метод является более точным, так как не требует предположения об одинаковости объемов.

• Линейка используется для измерения высоты $ h $ подъёмного столика над столом. Она позволяет убедиться, что высота для обоих тел одинакова, а также, зная массу тел, вычислить точные значения их потенциальных энергий по формуле $ E_p = mgh $.

Вывод:

Оба метода приводят к одному и тому же заключению. Так как плотность свинца значительно больше плотности алюминия, свинцовый брусок при том же (или даже сравнимом) объеме будет обладать значительно большей массой, а значит, и большей потенциальной энергией.

Ответ:

Большей потенциальной энергией обладает брусок свинца. Если бруски имеют одинаковый объем, то потенциальная энергия свинцового бруска больше потенциальной энергии алюминиевого бруска примерно в 4,2 раза.