Номер 481, страница 73 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Потенциальная и кинетическая энергия - номер 481, страница 73.

Условие.

► 481. Стальной шарик скатывается по наклонному желобу. Имея весы и измерительную ленту, определите потенциальную энергию шарика относительно поверхности стола в начале движения и кинетическую энергию в конце движения без учёта трения. В какой точке жёлоба кинетическая энергия будет равна потенциальной? Определите потенциальную энергию в этой точке.

Решение.

Определение потенциальной энергии шарика в начале движения.Для определения потенциальной энергии шарика в начале движения необходимо воспользоваться формулой потенциальной энергии тела, поднятого над землей: $E_p = mgh$. В этой формуле $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения (константа, примерно равная $9,8 \text{ м/с}^2$), $h$ – высота тела над нулевым уровнем (в данном случае – поверхностью стола). С помощью имеющихся инструментов нужно провести следующие измерения:
1. Используя весы, измерить массу стального шарика $m$.
2. Используя измерительную ленту, измерить начальную высоту $h_1$, на которой находится шарик, относительно поверхности стола.
Подставив полученные значения в формулу, можно рассчитать начальную потенциальную энергию $E_{p_1} = mgh_1$.

Ответ: Потенциальную энергию в начале движения можно определить, измерив массу шарика ($m$) с помощью весов и начальную высоту ($h_1$) с помощью измерительной ленты, а затем вычислив её по формуле $E_{p_1} = mgh_1$.

Определение кинетической энергии в конце движения.Согласно условию, трение не учитывается. В этом случае для шарика выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия в любой точке траектории равна сумме потенциальной и кинетической энергий ($E = E_p + E_k$) и остается постоянной.
В начальный момент времени шарик покоится, поэтому его начальная кинетическая энергия $E_{k_1} = 0$, а полная энергия равна начальной потенциальной энергии: $E_{полная} = E_{p_1} = mgh_1$.
В конце движения, когда шарик достигает поверхности стола, его высота становится равной нулю ($h_2 = 0$), следовательно, и его потенциальная энергия равна нулю ($E_{p_2} = 0$). Вся механическая энергия переходит в кинетическую. Таким образом, полная энергия в конце движения равна конечной кинетической энергии $E_{k_2}$.
По закону сохранения энергии: $E_{полная} = E_{k_2}$.
Отсюда следует, что $E_{k_2} = E_{p_1} = mgh_1$.

Ответ: Кинетическая энергия шарика в конце движения равна его потенциальной энергии в начале движения: $E_{k_2} = mgh_1$.

Определение точки, в которой кинетическая энергия равна потенциальной.Пусть искомая точка находится на некоторой высоте $h_x$ над столом. В этой точке потенциальная энергия шарика равна $E_{p_x} = mgh_x$, а кинетическая – $E_{k_x}$.
По условию, в этой точке $E_{k_x} = E_{p_x}$.
Полная механическая энергия в этой точке по закону сохранения энергии равна начальной полной энергии:
$E_{p_x} + E_{k_x} = E_{p_1}$
Подставим условие $E_{k_x} = E_{p_x}$ в это уравнение:
$E_{p_x} + E_{p_x} = E_{p_1}$
$2E_{p_x} = E_{p_1}$
Теперь распишем энергии через массу и высоту:
$2(mgh_x) = mgh_1$
Сократив обе части уравнения на $mg$, получим:
$2h_x = h_1$
$h_x = \frac{h_1}{2}$

Ответ: Кинетическая энергия будет равна потенциальной в точке, находящейся на высоте, равной половине начальной высоты ($h_x = \frac{h_1}{2}$). Эту точку можно найти, измерив половину начальной высоты с помощью измерительной ленты.

Определение потенциальной энергии в этой точке.Как было найдено в предыдущем пункте, в точке, где кинетическая энергия равна потенциальной, выполняется соотношение:
$2E_{p_x} = E_{p_1}$
Отсюда можно выразить потенциальную энергию в искомой точке $E_{p_x}$:
$E_{p_x} = \frac{E_{p_1}}{2}$
Таким образом, потенциальная энергия в этой точке равна половине начальной потенциальной энергии.

Ответ: Потенциальная энергия в точке, где она равна кинетической энергии, составляет половину от начальной потенциальной энергии шарика: $E_{p_x} = \frac{mgh_1}{2}$.