Номер 483, страница 74 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Потенциальная и кинетическая энергия. Законы движения и взаимодействия тел - номер 483, страница 74.

► 483. Имеются два тела разной массы и динамометр. Исследуйте, во сколько раз одно тело надо поднять выше другого, чтобы они обладали равной потенциальной энергией относительно стола; относительно пола?

Дано:

Два тела с массами $m_1$ и $m_2$, где $m_1 \neq m_2$.
Потенциальные энергии тел равны: $E_{p1} = E_{p2}$.
Динамометр для измерения веса тел (и, следовательно, для сравнения их масс).

Найти:

Отношение высот $h_1/h_2$, на которые нужно поднять тела, чтобы их потенциальные энергии были равны.

Решение:

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется формулой: $E_p = mgh$, где $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота тела над некоторым нулевым уровнем.

С помощью динамометра можно измерить вес каждого тела: $P_1 = m_1g$ и $P_2 = m_2g$. Так как $g$ является константой, отношение весов тел будет равно отношению их масс: $P_1 / P_2 = (m_1g) / (m_2g) = m_1 / m_2$. Таким образом, мы можем определить, во сколько раз масса одного тела больше массы другого.

По условию задачи, потенциальные энергии двух тел должны быть равны: $E_{p1} = E_{p2}$

Подставим формулу потенциальной энергии для каждого тела, где $h_1$ и $h_2$ - высоты первого и второго тела соответственно над выбранным нулевым уровнем: $m_1gh_1 = m_2gh_2$

Сократив обе части уравнения на $g$ (ускорение свободного падения), получим: $m_1h_1 = m_2h_2$

Из этого равенства можно выразить отношение высот: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Это соотношение показывает, что высоты, на которые нужно поднять тела, обратно пропорциональны их массам. То есть, тело с меньшей массой необходимо поднять на большую высоту, и наоборот. Во сколько раз масса одного тела больше массы другого, во столько же раз его нужно поднять на меньшую высоту для достижения равной потенциальной энергии.

Рассмотрим теперь конкретные случаи выбора нулевого уровня.

относительно стола

В этом случае нулевым уровнем (где $h = 0$) считается поверхность стола. Высоты $h_1$ и $h_2$ отсчитываются от поверхности стола. Как было показано выше, для того чтобы потенциальные энергии тел были равны, отношение их высот над столом должно быть обратно пропорционально отношению их масс. Если, например, масса первого тела в 2 раза больше массы второго ($m_1 = 2m_2$), то для равенства энергий необходимо, чтобы высота второго тела была в 2 раза больше высоты первого ($h_2 = 2h_1$).

Ответ: Одно тело надо поднять выше другого во столько раз, во сколько его масса меньше массы другого тела. Отношение высот подъема тел над столом обратно пропорционально отношению их масс ($\frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$).

относительно пола

В этом случае нулевым уровнем ($h = 0$) является пол. Высоты $h_1$ и $h_2$ отсчитываются от пола. Формула для потенциальной энергии $E_p = mgh$ и условие равенства энергий $E_{p1} = E_{p2}$ остаются теми же. Следовательно, и вывод, полученный из них, не меняется: $m_1gh_1 = m_2gh_2 \implies \frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$. Выбор нулевого уровня для отсчета потенциальной энергии не влияет на *отношение* высот, необходимое для их равенства. Важно лишь, чтобы высоты обоих тел измерялись от одного и того же уровня.

Ответ: Результат не изменится. Одно тело надо поднять выше другого (относительно пола) во столько раз, во сколько его масса меньше массы другого тела. Отношение высот тел над полом также обратно пропорционально отношению их масс ($\frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$).