Страница 74 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 483. Имеются два тела разной массы и динамометр. Исследуйте, во сколько раз одно тело надо поднять выше другого, чтобы они обладали равной потенциальной энергией относительно стола; относительно пола?

Дано:

Два тела с массами $m_1$ и $m_2$, где $m_1 \neq m_2$.
Потенциальные энергии тел равны: $E_{p1} = E_{p2}$.
Динамометр для измерения веса тел (и, следовательно, для сравнения их масс).

Найти:

Отношение высот $h_1/h_2$, на которые нужно поднять тела, чтобы их потенциальные энергии были равны.

Решение:

Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли определяется формулой: $E_p = mgh$, где $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота тела над некоторым нулевым уровнем.

С помощью динамометра можно измерить вес каждого тела: $P_1 = m_1g$ и $P_2 = m_2g$. Так как $g$ является константой, отношение весов тел будет равно отношению их масс: $P_1 / P_2 = (m_1g) / (m_2g) = m_1 / m_2$. Таким образом, мы можем определить, во сколько раз масса одного тела больше массы другого.

По условию задачи, потенциальные энергии двух тел должны быть равны: $E_{p1} = E_{p2}$

Подставим формулу потенциальной энергии для каждого тела, где $h_1$ и $h_2$ - высоты первого и второго тела соответственно над выбранным нулевым уровнем: $m_1gh_1 = m_2gh_2$

Сократив обе части уравнения на $g$ (ускорение свободного падения), получим: $m_1h_1 = m_2h_2$

Из этого равенства можно выразить отношение высот: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$

Это соотношение показывает, что высоты, на которые нужно поднять тела, обратно пропорциональны их массам. То есть, тело с меньшей массой необходимо поднять на большую высоту, и наоборот. Во сколько раз масса одного тела больше массы другого, во столько же раз его нужно поднять на меньшую высоту для достижения равной потенциальной энергии.

Рассмотрим теперь конкретные случаи выбора нулевого уровня.

относительно стола

В этом случае нулевым уровнем (где $h = 0$) считается поверхность стола. Высоты $h_1$ и $h_2$ отсчитываются от поверхности стола. Как было показано выше, для того чтобы потенциальные энергии тел были равны, отношение их высот над столом должно быть обратно пропорционально отношению их масс. Если, например, масса первого тела в 2 раза больше массы второго ($m_1 = 2m_2$), то для равенства энергий необходимо, чтобы высота второго тела была в 2 раза больше высоты первого ($h_2 = 2h_1$).

Ответ: Одно тело надо поднять выше другого во столько раз, во сколько его масса меньше массы другого тела. Отношение высот подъема тел над столом обратно пропорционально отношению их масс ($\frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$).

относительно пола

В этом случае нулевым уровнем ($h = 0$) является пол. Высоты $h_1$ и $h_2$ отсчитываются от пола. Формула для потенциальной энергии $E_p = mgh$ и условие равенства энергий $E_{p1} = E_{p2}$ остаются теми же. Следовательно, и вывод, полученный из них, не меняется: $m_1gh_1 = m_2gh_2 \implies \frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$. Выбор нулевого уровня для отсчета потенциальной энергии не влияет на *отношение* высот, необходимое для их равенства. Важно лишь, чтобы высоты обоих тел измерялись от одного и того же уровня.

Ответ: Результат не изменится. Одно тело надо поднять выше другого (относительно пола) во столько раз, во сколько его масса меньше массы другого тела. Отношение высот тел над полом также обратно пропорционально отношению их масс ($\frac{h_1}{h_2} = \frac{m_2}{m_1}$).

► 484. Железный брусок, подвешенный на нити, опущен в стакан с водой до полного погружения. Используя линейку, определите потенциальную энергию бруска относительно дна стакана. Для проверки решите эту задачу, пользуясь динамометром.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно определить потенциальную энергию бруска, используя линейку для измерений и справочные данные, а затем проверить результат, используя динамометр. Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли рассчитывается по формуле $E_п = mgh$, где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, а $h$ — высота центра масс тела над выбранным нулевым уровнем (в данном случае — дном стакана).

Определение потенциальной энергии с помощью линейки

Этот метод предполагает, что мы можем определить массу бруска, зная его геометрические размеры и плотность материала, из которого он сделан (железо).

Порядок действий:
1. С помощью линейки измерить длину ($l$), ширину ($w$) и высоту ($h_{бруска}$) железного бруска.
2. Вычислить объем бруска по формуле для прямоугольного параллелепипеда: $V = l \cdot w \cdot h_{бруска}$.
3. Найти массу бруска, используя известную из таблиц плотность железа ($\rho_{железа}$): $m = \rho_{железа} \cdot V$.
4. С помощью линейки измерить расстояние от дна стакана до центра масс бруска ($h$). Для однородного прямоугольного бруска центр масс находится в его геометрическом центре.
5. Рассчитать потенциальную энергию по формуле $E_п = mgh$.

Приведем пример расчета с условными, но реалистичными данными, которые можно было бы получить в ходе эксперимента.

Дано:

Брусок имеет форму прямоугольного параллелепипеда.

Длина бруска, $l = 5$ см

Ширина бруска, $w = 3$ см

Высота бруска, $h_{бруска} = 2$ см

Расстояние от дна стакана до нижней грани бруска, $h_{1} = 4$ см

Плотность железа, $\rho_{железа} = 7800$ кг/м³

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в систему СИ:
$l = 0.05$ м
$w = 0.03$ м
$h_{бруска} = 0.02$ м
$h_{1} = 0.04$ м

Найти:

Потенциальную энергию бруска $E_п$.

Решение:

1. Сначала найдем объем бруска:

$V = l \cdot w \cdot h_{бруска} = 0.05 \, \text{м} \cdot 0.03 \, \text{м} \cdot 0.02 \, \text{м} = 0.00003 \, \text{м}^3 = 3 \cdot 10^{-5} \, \text{м}^3$.

2. Теперь рассчитаем массу бруска:

$m = \rho_{железа} \cdot V = 7800 \, \text{кг/м}^3 \cdot 3 \cdot 10^{-5} \, \text{м}^3 = 0.234 \, \text{кг}$.

3. Определим высоту центра масс бруска относительно дна стакана. Центр масс находится на расстоянии $h_{бруска}/2$ от нижней грани бруска.

$h = h_1 + \frac{h_{бруска}}{2} = 0.04 \, \text{м} + \frac{0.02 \, \text{м}}{2} = 0.04 \, \text{м} + 0.01 \, \text{м} = 0.05 \, \text{м}$.

4. Наконец, вычислим потенциальную энергию:

$E_п = mgh = 0.234 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{Н/кг} \cdot 0.05 \, \text{м} = 0.117 \, \text{Дж}$.

Ответ: потенциальная энергия бруска, определенная с помощью линейки, составляет $0.117$ Дж.

Проверка с помощью динамометра

Этот метод заключается в экспериментальном определении массы бруска путем измерения его веса динамометром. Высоту по-прежнему необходимо измерять линейкой.

Порядок действий:
1. Подвесить брусок к динамометру и измерить его вес в воздухе $P$. Это значение равно силе тяжести $mg$.
2. Рассчитать массу бруска по формуле: $m = P/g$.
3. Измерить линейкой высоту центра масс бруска над дном стакана $h$, как и в первом способе.
4. Рассчитать потенциальную энергию по формуле $E_п = mgh$.

Проведем расчет для проверки. В идеальном эксперименте показания динамометра должны соответствовать весу бруска, массу которого мы вычислили ранее.

Дано:

Вес бруска в воздухе (показания динамометра), $P = 2.34$ Н

Высота центра масс над дном стакана (измеренная линейкой), $h = 5$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ Н/кг

Перевод в систему СИ:
$h = 0.05$ м

Найти:

Потенциальную энергию бруска $E_п$.

Решение:

1. Найдем массу бруска по показаниям динамометра:

$m = \frac{P}{g} = \frac{2.34 \, \text{Н}}{10 \, \text{Н/кг}} = 0.234 \, \text{кг}$.

2. Высота центра масс $h$ была измерена и составляет $0.05$ м.

3. Вычислим потенциальную энергию:

$E_п = mgh = 0.234 \, \text{кг} \cdot 10 \, \text{Н/кг} \cdot 0.05 \, \text{м} = 0.117 \, \text{Дж}$.

Результаты, полученные двумя способами, совпали. Это означает, что измерения и расчеты, скорее всего, верны. На практике возможны небольшие расхождения из-за погрешностей измерений.

Ответ: потенциальная энергия бруска, определенная с помощью динамометра и линейки, составляет $0.117$ Дж.

485. Тело массой 3 кг свободно падает с высоты 5 м. Рассчитайте потенциальную и кинетическую энергии этого тела на высоте 2 м от земли.

Дано:

Масса тела, $m = 3$ кг
Начальная высота, $h_1 = 5$ м
Высота, на которой нужно найти энергии, $h_2 = 2$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с² (для упрощения расчетов)

Найти:

Потенциальную энергию на высоте $h_2$ - $E_{p2}$
Кинетическую энергию на высоте $h_2$ - $E_{k2}$

Решение:

1. Сначала рассчитаем потенциальную энергию тела на высоте $h_2 = 2$ м. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей, определяется по формуле:
$E_p = mgh$
где $m$ - масса тела, $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота над поверхностью земли.
Подставим известные значения в формулу:
$E_{p2} = 3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м} = 60 \text{ Дж}$

2. Теперь рассчитаем кинетическую энергию. Для этого воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Поскольку тело падает свободно и сопротивлением воздуха можно пренебречь, его полная механическая энергия остается постоянной в любой точке траектории.
Полная механическая энергия тела на начальной высоте $h_1 = 5$ м равна его потенциальной энергии, так как начальная скорость равна нулю (тело начинает падать), и, следовательно, начальная кинетическая энергия $E_{k1}=0$.
$E_{полная} = E_{p1} = mgh_1 = 3 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5 \text{ м} = 150 \text{ Дж}$
На высоте $h_2 = 2$ м полная энергия является суммой потенциальной ($E_{p2}$) и кинетической ($E_{k2}$) энергий:
$E_{полная} = E_{p2} + E_{k2}$
Так как полная энергия сохраняется ($E_{полная} = 150 \text{ Дж}$) и мы уже нашли потенциальную энергию на высоте 2 м ($E_{p2} = 60 \text{ Дж}$), мы можем найти кинетическую энергию:
$E_{k2} = E_{полная} - E_{p2}$
$E_{k2} = 150 \text{ Дж} - 60 \text{ Дж} = 90 \text{ Дж}$

Ответ: на высоте 2 м от земли потенциальная энергия тела составляет 60 Дж, а кинетическая энергия – 90 Дж.

486. Мяч массой $200 \text{ г}$ брошен под некоторым углом к горизонту со скоростью $10 \text{ м/с}$. Найдите потенциальную и кинетическую энергии мяча на высоте $4 \text{ м}$ от земли.

Дано:

Масса мяча, $m = 200$ г

Начальная скорость, $v_0 = 10$ м/с

Высота, $h = 4$ м

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Перевод в систему СИ:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$E_п$ — потенциальная энергия на высоте $h$

$E_к$ — кинетическая энергия на высоте $h$

Решение:

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту $h$ над поверхностью земли, вычисляется по формуле:

$E_п = mgh$

Подставим известные значения в формулу:

$E_п = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 4 \text{ м} = 8 \text{ Дж}.$

Ответ: потенциальная энергия мяча на высоте 4 м равна 8 Дж.

Кинетическая энергия

Для определения кинетической энергии воспользуемся законом сохранения механической энергии. В любой точке траектории сумма потенциальной и кинетической энергий постоянна (при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь) и равна полной механической энергии $E$.

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Рассчитаем полную механическую энергию в начальный момент времени. Мяч брошен с поверхности земли, поэтому его начальная высота $h_0 = 0$ и, следовательно, начальная потенциальная энергия $E_{п0} = 0$. Таким образом, полная энергия равна начальной кинетической энергии:

$E = E_{к0} = \frac{1}{2}mv_0^2$

Вычислим значение полной энергии:

$E = \frac{1}{2} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2 = 0.1 \cdot 100 = 10 \text{ Дж}.$

Поскольку полная энергия сохраняется, на высоте $h = 4$ м она также составляет 10 Дж. Зная полную энергию и потенциальную энергию на этой высоте, можно найти кинетическую энергию:

$E_к = E - E_п$

Подставим вычисленные значения:

$E_к = 10 \text{ Дж} - 8 \text{ Дж} = 2 \text{ Дж}.$

Ответ: кинетическая энергия мяча на высоте 4 м равна 2 Дж.

487. Камень массой 2 кг, брошенный вертикально вверх со скоростью 20 м/с, упал на землю со скоростью 10 м/с. Рассчитайте изменение полной механической энергии камня.

Дано:

Масса камня, $m = 2 \text{ кг}$

Начальная скорость (при броске), $v_1 = 20 \text{ м/с}$

Конечная скорость (при падении), $v_2 = 10 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Изменение полной механической энергии, $\Delta E - ?$

Решение:

Полная механическая энергия тела $E$ является суммой его кинетической $E_k$ и потенциальной $E_p$ энергий:

$E = E_k + E_p$

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, а потенциальная энергия — $E_p = mgh$, где $h$ — высота над уровнем земли.

Изменение полной механической энергии $\Delta E$ равно разности между конечной энергией $E_2$ и начальной энергией $E_1$.

$\Delta E = E_2 - E_1$

Рассмотрим начальное и конечное состояния камня. И в момент броска, и в момент падения камень находится на земле. Примем уровень земли за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии, то есть $h_1 = 0$ и $h_2 = 0$.

Тогда начальная потенциальная энергия $E_{p1} = mgh_1 = 0$, и конечная потенциальная энергия $E_{p2} = mgh_2 = 0$.

Таким образом, полная механическая энергия в начальный и конечный моменты времени будет равна только кинетической энергии.

Начальная полная механическая энергия:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \frac{mv_1^2}{2} + 0 = \frac{mv_1^2}{2}$

Конечная полная механическая энергия:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \frac{mv_2^2}{2} + 0 = \frac{mv_2^2}{2}$

Теперь найдем изменение полной механической энергии:

$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(v_2^2 - v_1^2)}{2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta E = \frac{2 \cdot (10^2 - 20^2)}{2} = 100 - 400 = -300 \text{ (Дж)}$

Отрицательное значение показывает, что полная механическая энергия камня уменьшилась на 300 Дж. Это произошло из-за работы силы сопротивления воздуха, которая является диссипативной (неконсервативной) силой.

Ответ: изменение полной механической энергии камня составляет -300 Дж.

488. Шайба массой 200 г, брошенная со скоростью $10 \text{ м/с}$ вверх по ледяной горке, остановилась на высоте $3 \text{ м}$. На сколько изменилась полная механическая энергия шайбы?

Дано:

$m = 200 \text{ г}$

$v_1 = 10 \text{ м/с}$

$h_2 = 3 \text{ м}$

$v_2 = 0 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:
$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$\Delta E - ?$

Решение:

Изменение полной механической энергии $\Delta E$ равно разности между конечной полной механической энергией $E_2$ и начальной полной механической энергией $E_1$.

Полная механическая энергия $E$ является суммой кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Примем начальный уровень, с которого бросили шайбу, за нулевой уровень потенциальной энергии, то есть $h_1 = 0$. Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

1. Начальная полная механическая энергия шайбы $E_1$ (в момент броска):

Начальная кинетическая энергия:

$E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2} = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0.2 \cdot 100}{2} = 10 \text{ Дж}$.

Начальная потенциальная энергия:

$E_{p1} = mgh_1 = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0 \text{ м} = 0 \text{ Дж}$.

Следовательно, начальная полная механическая энергия:

$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = 10 \text{ Дж} + 0 \text{ Дж} = 10 \text{ Дж}$.

2. Конечная полная механическая энергия шайбы $E_2$ (в момент остановки):

Конечная кинетическая энергия (шайба остановилась, $v_2 = 0$):

$E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot (0 \text{ м/с})^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Конечная потенциальная энергия:

$E_{p2} = mgh_2 = 0.2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ м} = 6 \text{ Дж}$.

Следовательно, конечная полная механическая энергия:

$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = 0 \text{ Дж} + 6 \text{ Дж} = 6 \text{ Дж}$.

3. Изменение полной механической энергии:

$\Delta E = E_2 - E_1 = 6 \text{ Дж} - 10 \text{ Дж} = -4 \text{ Дж}$.

Знак минус указывает на то, что полная механическая энергия системы уменьшилась. Это произошло из-за совершения работы силой трения.

Ответ: полная механическая энергия шайбы уменьшилась на 4 Дж.

489. В каком случае двигатель мотоцикла совершает большую работу — при разгоне с места до скорости $20 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ или при увеличении скорости от $20 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ до $40 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$?

Дано:

Случай 1 (разгон с места):

Начальная скорость $v_1 = 0$ км/ч

Конечная скорость $v_2 = 20$ км/ч

Случай 2 (увеличение скорости):

Начальная скорость $v_3 = 20$ км/ч

Конечная скорость $v_4 = 40$ км/ч

Масса мотоцикла - $m$

Найти:

Сравнить работу $A_1$, совершенную в первом случае, с работой $A_2$, совершенной во втором случае.

Решение:

Работу двигателя можно оценить через изменение кинетической энергии мотоцикла. Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершаемая всеми силами, действующими на тело, равна изменению его кинетической энергии. Работа двигателя идет на увеличение кинетической энергии и на преодоление сил сопротивления (трения и сопротивления воздуха). Для простоты сравнения предположим, что вся работа двигателя переходит в кинетическую энергию. Это даст нам минимальную оценку, но ее будет достаточно для ответа на вопрос.

Формула кинетической энергии:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Работа $A$ равна изменению кинетической энергии $\Delta E_k$:

$A = \Delta E_k = E_{k_{конечная}} - E_{k_{начальная}}$

1. Найдем работу для первого случая ($A_1$): разгон с 0 до 20 км/ч.

$\Delta E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \frac{m(20 \text{ км/ч})^2}{2} - \frac{m(0 \text{ км/ч})^2}{2}$

Для удобства расчетов будем использовать скорости в данных единицах, так как нам нужно только сравнение.

$A_1 = \Delta E_{k1} = \frac{m \cdot 20^2}{2} - 0 = \frac{400m}{2} = 200m$ (в условных единицах).

2. Найдем работу для второго случая ($A_2$): разгон с 20 до 40 км/ч.

$\Delta E_{k2} = \frac{mv_4^2}{2} - \frac{mv_3^2}{2} = \frac{m(40 \text{ км/ч})^2}{2} - \frac{m(20 \text{ км/ч})^2}{2}$

$A_2 = \Delta E_{k2} = \frac{m(40^2 - 20^2)}{2} = \frac{m(1600 - 400)}{2} = \frac{1200m}{2} = 600m$ (в условных единицах).

3. Сравним полученные значения работы.

Сравним $A_1$ и $A_2$:

$A_1 = 200m$

$A_2 = 600m$

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{600m}{200m} = 3$

Таким образом, для увеличения скорости с 20 до 40 км/ч требуется совершить в 3 раза большую работу, чем для разгона с места до 20 км/ч. Это связано с тем, что кинетическая энергия зависит от квадрата скорости. Увеличение скорости на один и тот же интервал требует больше энергии при более высоких скоростях.

Стоит также отметить, что с ростом скорости увеличивается сила сопротивления воздуха. Это означает, что в реальности двигателю во втором случае придется совершить еще большую работу, чтобы преодолеть возросшее сопротивление. Следовательно, разница будет даже больше, чем в 3 раза.

Ответ: Двигатель мотоцикла совершает большую работу при увеличении скорости от 20 до 40 км/ч.

490. Тело массой $2 \text{ кг}$, находящееся на высоте $3 \text{ м}$, обладает энергией, равной $80 \text{ Дж}$. Чему равна кинетическая энергия тела на этой высоте; скорость тела?

Дано:

Масса тела, $m = 2$ кг
Высота, $h = 3$ м
Полная механическая энергия, $E = 80$ Дж
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с² (принимаем для упрощения расчетов)

Найти:

Кинетическую энергию тела, $E_k$ - ?
Скорость тела, $v$ - ?

Решение:

Полная механическая энергия тела $E$ является суммой его потенциальной энергии $E_p$ и кинетической энергии $E_k$.

$E = E_p + E_k$

Сначала определим потенциальную энергию тела на данной высоте по формуле:

$E_p = mgh$

Подставим известные значения в формулу:

$E_p = 2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с²} \cdot 3 \text{ м} = 60 \text{ Дж}$

Чему равна кинетическая энергия тела на этой высоте

Зная полную и потенциальную энергии, мы можем найти кинетическую энергию, вычтя потенциальную энергию из полной:

$E_k = E - E_p$

$E_k = 80 \text{ Дж} - 60 \text{ Дж} = 20 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия тела на этой высоте равна 20 Дж.

скорость тела?

Кинетическая энергия тела связана с его массой и скоростью следующим соотношением:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Выразим из этой формулы скорость $v$:

$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

Подставим значения массы и найденной кинетической энергии:

$v = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 \text{ Дж}}{2 \text{ кг}}} = \sqrt{20 \frac{\text{м²}}{\text{с²}}} \approx 4,47 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тела составляет примерно 4,47 м/с.

491. Космический корабль «Спейс Шаттл» был пробит куском обшивки массой 200 г при скорости движения 900 км/ч. Какая сила со стороны куска обшивки подействовала на стенку корабля, если принять её толщину равной 10 см?

Дано:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

$v_0 = 900 \text{ км/ч} = 900 \cdot \frac{1000}{3600} \text{ м/с} = 250 \text{ м/с}$

$s = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$v = 0 \text{ м/с}$ (конечная скорость куска после пробития)

Найти:

$F$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии. Согласно этой теореме, работа, совершённая силой, равна изменению кинетической энергии тела.

Работа силы сопротивления стенки корабля $A$ по остановке куска обшивки равна:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

Где $F$ – сила сопротивления, $s$ – толщина стенки (путь, который проходит кусок), а $\alpha$ – угол между вектором силы и вектором перемещения. Так как сила сопротивления направлена против движения, $\alpha = 180^\circ$, и $\cos(180^\circ) = -1$. Таким образом, работа силы сопротивления отрицательна:

$A = -F \cdot s$

Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ равно разности конечной и начальной кинетических энергий:

$\Delta E_k = E_{k_{кон}} - E_{k_{нач}} = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2}$

Так как кусок обшивки останавливается, его конечная скорость $v=0$. Следовательно, изменение кинетической энергии равно:

$\Delta E_k = 0 - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}$

Приравниваем работу к изменению кинетической энергии ($A = \Delta E_k$):

$-F \cdot s = -\frac{mv_0^2}{2}$

Отсюда можем выразить величину силы сопротивления $F$:

$F = \frac{mv_0^2}{2s}$

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой кусок обшивки действовал на стенку корабля, равна по модулю и противоположна по направлению силе сопротивления, с которой стенка действовала на кусок. Таким образом, мы ищем величину $F$.

Подставим числовые значения в систему СИ:

$F = \frac{0.2 \text{ кг} \cdot (250 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 0.1 \text{ м}} = \frac{0.2 \cdot 62500}{0.2} = 62500 \text{ Н}$

Полученное значение можно также выразить в килоньютонах: $62500 \text{ Н} = 62.5 \text{ кН}$.

Ответ: $F = 62500 \text{ Н}$ или $62.5 \text{ кН}$.

492. Ракета массой 500 кг с помощью ракеты-носителя была поднята на высоту $4 \cdot 10^4$ м и приобрела скорость $1{,}4 \cdot 10^3$ м/с. Рассчитайте полную механическую энергию ракеты.

Дано:

$m = 500$ кг
$h = 4 \cdot 10^4$ м
$v = 1.4 \cdot 10^3$ м/с
$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$E$ — ?

Решение:

Полная механическая энергия тела $E$ представляет собой сумму его кинетической энергии $E_k$ (энергии движения) и потенциальной энергии $E_p$ (энергии положения).

$E = E_k + E_p$

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту $h$ над поверхностью Земли (где потенциальная энергия принимается за ноль), вычисляется по формуле:

$E_p = mgh$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Подставим формулы для кинетической и потенциальной энергии в формулу для полной механической энергии:

$E = \frac{mv^2}{2} + mgh$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в эту формулу. Сначала рассчитаем кинетическую энергию:

$E_k = \frac{500 \text{ кг} \cdot (1.4 \cdot 10^3 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{500 \cdot 1.96 \cdot 10^6}{2} \text{ Дж} = 250 \cdot 1.96 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 490 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 4.9 \cdot 10^8 \text{ Дж}$

Затем рассчитаем потенциальную энергию:

$E_p = 500 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \cdot 10^4 \text{ м} = 4900 \cdot 4 \cdot 10^4 \text{ Дж} = 19600 \cdot 10^4 \text{ Дж} = 1.96 \cdot 10^8 \text{ Дж}$

Суммируем оба вида энергии, чтобы найти полную механическую энергию ракеты:

$E = E_k + E_p = 4.9 \cdot 10^8 \text{ Дж} + 1.96 \cdot 10^8 \text{ Дж} = (4.9 + 1.96) \cdot 10^8 \text{ Дж} = 6.86 \cdot 10^8 \text{ Дж}$

Полученное значение можно также выразить в мегаджоулях (МДж): $1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$.

$6.86 \cdot 10^8 \text{ Дж} = 686 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 686 \text{ МДж}$

Ответ: полная механическая энергия ракеты равна $6.86 \cdot 10^8$ Дж или 686 МДж.