Страница 80 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

524. Рассчитайте частоту колебаний математического маятника, если период колебаний равен 0,1 с; 4 с.

Задача состоит из двух частей, для каждой из которых необходимо рассчитать частоту колебаний по заданному периоду.

Для периода 0,1 с

Дано:

Период колебаний $T = 0,1$ с.

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Частоту колебаний $\nu$.

Решение:

Частота колебаний ($\nu$) и период колебаний ($T$) являются взаимно обратными величинами. Связь между ними выражается формулой:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим в формулу известное значение периода колебаний:

$\nu = \frac{1}{0,1 \text{ с}} = 10 \text{ Гц}$

Ответ: частота колебаний математического маятника при периоде 0,1 с равна 10 Гц.

Для периода 4 с

Дано:

Период колебаний $T = 4$ с.

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

Частоту колебаний $\nu$.

Решение:

Воспользуемся той же формулой для нахождения частоты через период:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим в формулу известное значение периода колебаний:

$\nu = \frac{1}{4 \text{ с}} = 0,25 \text{ Гц}$

Ответ: частота колебаний математического маятника при периоде 4 с равна 0,25 Гц.

525. Определите частоту колебаний железнодорожных вагонов, если период их вертикальных колебаний равен 0,5 с.

Дано:

Период вертикальных колебаний $T = 0,5$ с.

Перевод в систему СИ:

Значение периода уже дано в единицах системы СИ (секундах).

Найти:

Частоту колебаний $ν$.

Решение:

Частота колебаний ($ν$) и период колебаний ($T$) являются взаимно обратными величинами. Связь между ними выражается формулой:

$ν = \frac{1}{T}$

Подставим в формулу значение периода, указанное в условии задачи:

$ν = \frac{1}{0,5 \text{ с}}$

Выполним вычисление:

$ν = 2 \text{ Гц}$

Ответ: частота колебаний железнодорожных вагонов равна 2 Гц.

526. Чему равен период колебаний пружинного маятника, если частота колебаний равна 2 Гц; 20 Гц?

Дано:

Частота колебаний (случай 1): $ \nu_1 = 2 $ Гц

Частота колебаний (случай 2): $ \nu_2 = 20 $ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний (случай 1): $ T_1 $ - ?

Период колебаний (случай 2): $ T_2 $ - ?

Решение:

Период колебаний ($T$) и частота колебаний ($\nu$) — это взаимно обратные величины. Это означает, что чем выше частота, тем меньше период, и наоборот. Связь между ними выражается простой формулой:

$ T = \frac{1}{\nu} $

где $T$ — это период, измеряемый в секундах (с), а $\nu$ — это частота, измеряемая в герцах (Гц). Информация о том, что это пружинный маятник, не влияет на данное соотношение.

Теперь рассчитаем период для каждого из двух заданных значений частоты.

Если частота колебаний равна 2 Гц:

Подставим значение частоты $ \nu_1 = 2 $ Гц в формулу:

$ T_1 = \frac{1}{\nu_1} = \frac{1}{2 \text{ Гц}} = 0,5 \text{ с} $

Ответ: период колебаний равен 0,5 с.

Если частота колебаний равна 20 Гц:

Подставим значение частоты $ \nu_2 = 20 $ Гц в формулу:

$ T_2 = \frac{1}{\nu_2} = \frac{1}{20 \text{ Гц}} = 0,05 \text{ с} $

Ответ: период колебаний равен 0,05 с.

527. Частота колебаний корабля равна 0,05 Гц, частота вибраций электродвигателя равна 2500 Гц. Найдите периоды их колебаний.

Дано:

Частота колебаний корабля $f_1 = 0,05$ Гц

Частота вибраций электродвигателя $f_2 = 2500$ Гц

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Период колебаний корабля $T_1$

Период вибраций электродвигателя $T_2$

Решение:

Период колебаний $T$ и частота $f$ связаны обратной пропорциональностью. Формула для расчета периода:

$T = \frac{1}{f}$

Рассчитаем периоды для корабля и электродвигателя по отдельности.

Период колебаний корабля

Подставим значение частоты колебаний корабля $f_1$ в формулу:

$T_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{1}{0,05 \text{ Гц}} = 20 \text{ с}$

Ответ: период колебаний корабля равен 20 с.

Период вибраций электродвигателя

Подставим значение частоты вибраций электродвигателя $f_2$ в формулу:

$T_2 = \frac{1}{f_2} = \frac{1}{2500 \text{ Гц}} = 0,0004 \text{ с}$

Ответ: период вибраций электродвигателя равен 0,0004 с.

528. Груз, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найдите период и частоту колебаний.

Дано:

Время колебаний, $t = 8$ с

Число колебаний, $N = 32$

Найти:

Период колебаний, $T$ - ?

Частоту колебаний, $\nu$ - ?

Решение:

Период колебаний ($T$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Для его нахождения необходимо общее время колебаний ($t$) разделить на число совершённых за это время колебаний ($N$).

Формула для расчёта периода:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$T = \frac{8 \text{ с}}{32} = 0,25 \text{ с}$

Частота колебаний ($\nu$) — это число колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду.

Формула для расчёта частоты:

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим данные и рассчитаем частоту:

$\nu = \frac{32}{8 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$

Также частоту можно найти через вычисленный ранее период:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{0,25 \text{ с}} = 4 \text{ Гц}$

Результаты совпадают, что подтверждает правильность расчётов.

Ответ: период колебаний $T = 0,25$ с; частота колебаний $\nu = 4$ Гц.

529. Маятник совершает 9 колебаний за 18 с. Определите период и частоту колебаний. Постройте график зависимости смещения от времени, если амплитуда колебаний равна 10 см.

Дано:

Число колебаний, $N = 9$

Время колебаний, $t = 18$ с

Амплитуда колебаний, $A = 10$ см

Перевод в систему СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний, $T - ?$

Частоту колебаний, $\nu - ?$

График зависимости смещения от времени, $x(t) - ?$

Решение:

1. Определение периода и частоты колебаний

Период колебаний ($T$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Он определяется по формуле:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{18 \text{ с}}{9} = 2 \text{ с}$

Частота колебаний ($\nu$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим найденное значение периода:

$\nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Ответ: Период колебаний равен 2 с, частота колебаний — 0.5 Гц.

2. Построение графика зависимости смещения от времени

Зависимость смещения $x$ от времени $t$ при гармонических колебаниях описывается по закону синуса или косинуса. Предположим, что в начальный момент времени ($t=0$) маятник находился в положении максимального отклонения. Тогда уравнение его движения имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

где $A$ — амплитуда, а $\omega$ — циклическая частота. Найдем циклическую частоту:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi$ рад/с

Подставив значения амплитуды (в сантиметрах для удобства построения графика) и циклической частоты, получим уравнение движения:

$x(t) = 10 \cos(\pi t)$ (где $x$ в см, $t$ в с)

Для построения графика найдем несколько ключевых точек для одного периода ($T=2$ c):

• При $t = 0$ с, $x = 10 \cos(0) = 10$ см (максимальное смещение).
• При $t = 0.5$ с (T/4), $x = 10 \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ см (положение равновесия).
• При $t = 1$ с (T/2), $x = 10 \cos(\pi) = -10$ см (максимальное смещение в противоположную сторону).
• При $t = 1.5$ с (3T/4), $x = 10 \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ см (положение равновесия).
• При $t = 2$ с (T), $x = 10 \cos(2\pi) = 10$ см (возврат в исходную точку).

График представляет собой косинусоиду, где по вертикальной оси отложено смещение $x$ (в см) от -10 до +10, а по горизонтальной оси — время $t$ (в с). Период повторения графика равен 2 с.

Ответ: График зависимости смещения от времени является косинусоидой, описываемой уравнением $x(t) = 10 \cos(\pi t)$ (x в см, t в с), с амплитудой 10 см и периодом 2 с.

530. Период колебаний крыльев шмеля 5 мс, а частота колебаний крыльев комара 600 Гц. Определите, какое насекомое и на сколько больше сделает взмахов крыльями при полёте за 1 мин.

Дано:

Период колебаний крыльев шмеля $T_{ш} = 5 \text{ мс}$

Частота колебаний крыльев комара $\nu_{к} = 600 \text{ Гц}$

Время полета $t = 1 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$T_{ш} = 5 \times 10^{-3} \text{ с} = 0.005 \text{ с}$

$t = 1 \times 60 \text{ с} = 60 \text{ с}$

Найти:

Какое насекомое сделает больше взмахов и на сколько ($\Delta N$).

Решение:

Для того чтобы определить, какое насекомое сделает больше взмахов, нужно сравнить их частоты колебаний. Частота показывает количество колебаний (взмахов) в секунду. У комара частота дана, а у шмеля известен период. Найдем частоту колебаний крыльев шмеля ($\nu_{ш}$) через период ($T_{ш}$) по формуле:

$\nu = \frac{1}{T}$

$\nu_{ш} = \frac{1}{T_{ш}} = \frac{1}{0.005 \text{ с}} = 200 \text{ Гц}$

Сравним частоты: частота у комара $\nu_{к} = 600 \text{ Гц}$, а у шмеля $\nu_{ш} = 200 \text{ Гц}$. Поскольку $\nu_{к} > \nu_{ш}$, комар делает больше взмахов в секунду, следовательно, и за 1 минуту он сделает больше взмахов.

Теперь рассчитаем количество взмахов ($N$) для каждого насекомого за время $t = 60 \text{ с}$ по формуле:

$N = \nu \cdot t$

Количество взмахов для шмеля:

$N_{ш} = \nu_{ш} \cdot t = 200 \text{ Гц} \cdot 60 \text{ с} = 12000 \text{ взмахов}$

Количество взмахов для комара:

$N_{к} = \nu_{к} \cdot t = 600 \text{ Гц} \cdot 60 \text{ с} = 36000 \text{ взмахов}$

Найдем разницу в количестве взмахов:

$\Delta N = N_{к} - N_{ш} = 36000 - 12000 = 24000 \text{ взмахов}$

Ответ: Комар сделает на 24000 взмахов крыльями больше, чем шмель, за 1 минуту полета.

531. По графику зависимости смещения колеблющейся точки от времени (рис. 109) определите амплитуду, период и частоту колебаний.

Рис. 109

Дано:

График зависимости смещения колеблющейся точки от времени $x(t)$. Ось ординат (вертикальная) — смещение $x$ в метрах (м). Ось абсцисс (горизонтальная) — время $t$ в секундах (с).

Все данные на графике представлены в системе СИ.

Найти:

Амплитуду колебаний $A$

Период колебаний $T$

Частоту колебаний $\nu$

Решение:

Амплитуда

Амплитуда колебаний ($A$) — это максимальное смещение или отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. На графике это соответствует максимальному значению координаты $x$.

Из графика видно, что максимальное смещение составляет 0,3 м.

$A = x_{max} = 0,3$ м.

Ответ: Амплитуда колебаний равна 0,3 м.

Период

Период колебаний ($T$) — это наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание. На графике периоду соответствует временной интервал, через который форма графика начинает повторяться. Например, можно взять время между двумя последовательными максимумами (гребнями) или минимумами (впадинами).

Из графика видно, что одно полное колебание завершается за 2 секунды (например, от $t_1=0$ до $t_2=2$ с, за это время точка из положения равновесия проходит через максимум, снова через равновесие, через минимум и возвращается в исходное положение равновесия, готовая начать следующее колебание).

$T = 2$ с.

Ответ: Период колебаний равен 2 с.

Частота

Частота колебаний ($\nu$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим в формулу найденное значение периода $T = 2$ с:

$\nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0,5$ Гц.

Ответ: Частота колебаний равна 0,5 Гц.

532. Определите амплитуду, период и частоту колебаний по графику зависимости смещения колеблющейся точки от времени, изображённому на рисунке 110.

Рис. 110

Дано:

График зависимости смещения колеблющейся точки от времени $x(t)$.
Из графика определяем:
Максимальное смещение от положения равновесия $x_{max} = 4 \text{ см}$.
Время, соответствующее двум последовательным максимумам смещения: $t_1 = 0 \text{ с}$ и $t_2 = 4 \text{ с}$.

Перевод в систему СИ:
$x_{max} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Найти:

Амплитуду $A$
Период $T$
Частоту $\nu$

Решение:

Амплитуда

Амплитуда колебаний ($A$) — это модуль максимального смещения тела от положения равновесия. На графике это максимальное значение по оси ординат ($x$).
Из графика видно, что максимальное смещение составляет 4 см.
$A = x_{max} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$.

Ответ: Амплитуда колебаний $A = 4 \text{ см}$.

Период

Период колебаний ($T$) — это время, за которое совершается одно полное колебание. Его можно найти как промежуток времени между двумя соседними точками на графике, в которых состояние движения (смещение и скорость) точки полностью повторяется. Например, между двумя последовательными максимумами.
Первый максимум наблюдается при $t_1 = 0 \text{ с}$, а следующий — при $t_2 = 4 \text{ с}$.
$T = t_2 - t_1 = 4 \text{ с} - 0 \text{ с} = 4 \text{ с}$.

Ответ: Период колебаний $T = 4 \text{ с}$.

Частота

Частота колебаний ($\nu$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду колебаний.
Формула для расчета частоты: $\nu = \frac{1}{T}$.
Подставим найденное значение периода:
$\nu = \frac{1}{4 \text{ с}} = 0.25 \text{ Гц}$.

Ответ: Частота колебаний $\nu = 0.25 \text{ Гц}$.