Страница 87 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

► 576. Наблюдая по телевизору за высадкой астронавтов на Луну, преподаватель американского колледжа заметил, что у одного из отсеков спускаемого аппарата (лунного модуля) свисал рядом с фигурой космонавта, качаясь на чём-то вроде каната, какой-то тяжёлый предмет. Посмотрев на свои часы, преподаватель сумел довольно точно определить ускорение свободного падения на Луне. Как он это сделал?

Решение

Преподаватель понял, что качающийся на канате тяжелый предмет является физическим маятником. Период колебаний такого маятника зависит от его длины и от ускорения свободного падения в том месте, где он находится.

Для малых колебаний период математического маятника (которым можно считать данный предмет) определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

где $T$ – период колебаний, $L$ – длина подвеса (каната), а $g$ – ускорение свободного падения.

Чтобы найти ускорение свободного падения на Луне ($g_Л$), преподавателю нужно было определить две величины: период колебаний $T$ и длину подвеса $L$. Он мог сделать это следующим образом:

1. Определение периода колебаний $T$. Используя свои часы, преподаватель мог измерить время $t$, за которое маятник совершил несколько полных колебаний, например, $N$ раз. Период одного колебания вычисляется как $T = \frac{t}{N}$. Измерение времени нескольких колебаний вместо одного повышает точность результата.

2. Оценка длины подвеса $L$. В условии сказано, что предмет висел «рядом с фигурой космонавта». Рост человека (и, соответственно, космонавта в скафандре) является величиной известного порядка (примерно 1.8–1.9 м). Сравнивая длину каната с ростом стоящего рядом космонавта на экране, можно было довольно точно оценить длину подвеса $L$.

После того как были получены значения $T$ и $L$, преподаватель мог выразить искомое ускорение свободного падения $g_Л$ из формулы периода:

$T^2 = 4\pi^2\frac{L}{g_Л}$

Отсюда:

$g_Л = \frac{4\pi^2L}{T^2}$

Подставив в эту формулу оцененную длину и измеренный период, можно было вычислить ускорение свободного падения на Луне.

Ответ: Преподаватель рассмотрел качающийся предмет как математический маятник. С помощью часов он измерил период его колебаний $T$, а длину подвеса $L$ оценил, сравнив ее с ростом астронавта. Затем, используя формулу периода колебаний маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, он смог вычислить ускорение свободного падения на Луне по формуле $g_Л = \frac{4\pi^2L}{T^2}$.

► 577. Наблюдая в соборе за колебаниями светильников, раскачиваемых ветром, Галилей пришёл к выводу, что период колебаний остаётся постоянным при различных амплитудах. Предложите способ, позволивший учёному проверить этот вывод, не имея часов.

Для проверки своего вывода об изохронности (независимости периода колебаний от их амплитуды), не имея часов, Галилей мог использовать любой доступный ему равномерный периодический процесс. Согласно историческим сведениям, в качестве такого «эталона времени» он использовал биение собственного пульса.

Предлагаемый способ проверки мог быть следующим:

1. Наблюдая за одним из светильников (маятником), раскачивающимся с большой амплитудой, Галилей мог одновременно начать считать количество его полных колебаний и количество ударов своего пульса. Для повышения точности измерений целесообразно было считать не одно, а достаточно большое число колебаний (например, $N = 20$). Допустим, за $N$ колебаний он насчитал $P_1$ ударов пульса.

2. Спустя некоторое время, когда из-за сопротивления воздуха амплитуда колебаний того же светильника заметно уменьшилась, он мог повторить измерение. Он снова отсчитал то же самое количество полных колебаний $N$ и измерил, сколько ударов пульса $P_2$ произошло за это время.

3. Сравнив полученные результаты $P_1$ и $P_2$, он мог сделать вывод. Если его предположение о постоянстве периода было верным, то количество ударов пульса, сосчитанное в обоих случаях, должно было оказаться примерно одинаковым ($P_1 \approx P_2$). Это означало, что время, затраченное на $N$ колебаний, не зависит от размаха (амплитуды) этих колебаний, а значит, и период одного колебания является величиной постоянной.

Ответ: Галилей мог использовать свой пульс в качестве измерителя времени. Он мог посчитать количество ударов пульса за определенное число колебаний светильника при большой амплитуде, а затем повторить измерение для того же числа колебаний при уже малой амплитуде. Совпадение количества ударов пульса в обоих экспериментах доказывало, что период колебаний не зависит от амплитуды.

► 578. Просверлите отверстия в стержне длиной 1 м ближе к его концу и на расстоянии примерно 25 см. Укрепите стержень на гвозде поочерёдно на каждом из отверстий. Определите периоды колебаний этих маятников, пользуясь секундомером. Сделайте об этом доклад в классе и обсудите своё открытие.

Эта задача представляет собой описание физического эксперимента с физическим маятником, в роли которого выступает стержень. Требуется определить и сравнить периоды его колебаний при подвешивании в двух разных точках. Поскольку провести реальный эксперимент невозможно, мы выполним теоретический расчет и на его основе подготовим "доклад" с "открытием".

Стержень, колеблющийся на оси, не проходящей через его центр масс, является физическим маятником. Период малых колебаний физического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где:

• $I$ – момент инерции маятника относительно оси вращения,
• $m$ – масса маятника,
• $g$ – ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$),
• $d$ – расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Для однородного тонкого стержня длиной $L$ центр масс находится посередине, а момент инерции относительно центра масс равен $I_{ЦМ} = \frac{1}{12}mL^2$. Для нахождения момента инерции $I$ относительно произвольной оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, используется теорема Штейнера:

$I = I_{ЦМ} + md^2$

Дано:

Длина стержня: $L = 1 \text{ м}$
Расстояние от конца до второй точки подвеса: $x = 25 \text{ см}$

$L = 1 \text{ м}$
$x = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний для первого случая (подвес у конца): $T_1 - ?$
Период колебаний для второго случая (подвес на расстоянии 25 см от конца): $T_2 - ?$

Решение:

Определение периода колебаний для первого маятника (подвес у конца стержня)

В этом случае точка подвеса находится на одном из концов стержня. Центр масс однородного стержня находится на его середине, т.е. на расстоянии $L/2$ от конца.

1. Расстояние от оси вращения до центра масс:

$d_1 = \frac{L}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0.5 \text{ м}$

2. Момент инерции относительно конца стержня (по теореме Штейнера):

$I_1 = I_{ЦМ} + m d_1^2 = \frac{1}{12}mL^2 + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{1}{12}mL^2 + \frac{1}{4}mL^2 = \frac{4}{12}mL^2 = \frac{1}{3}mL^2$

3. Период колебаний:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I_1}{mgd_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg\frac{L}{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{\frac{2}{29.4}} \approx 6.2832 \cdot \sqrt{0.068027} \approx 6.2832 \cdot 0.2608 \approx 1.639 \text{ с}$

Ответ: Теоретически рассчитанный период колебаний стержня, подвешенного за конец, составляет примерно $1.64$ с.

Определение периода колебаний для второго маятника (подвес на расстоянии 25 см от конца)

В этом случае точка подвеса находится на расстоянии $x = 0.25 \text{ м}$ от конца стержня.

1. Расстояние от оси вращения до центра масс:

Центр масс находится на расстоянии $L/2 = 0.5 \text{ м}$ от конца. Расстояние от новой точки подвеса до центра масс равно:

$d_2 = \frac{L}{2} - x = 0.5 \text{ м} - 0.25 \text{ м} = 0.25 \text{ м}$

2. Момент инерции относительно новой оси вращения (по теореме Штейнера):

$I_2 = I_{ЦМ} + m d_2^2 = \frac{1}{12}mL^2 + m(0.25)^2 = m(\frac{1}{12}(1)^2 + (0.25)^2) = m(\frac{1}{12} + 0.0625) \approx m(0.08333 + 0.0625) = 0.14583 m$

Более точно: $I_2 = m(\frac{1}{12} + \frac{1}{16}) = m(\frac{4+3}{48}) = \frac{7}{48}mL^2$

3. Период колебаний:

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I_2}{mgd_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{7}{48}mL^2}{mgd_2}}$

Подставим числовые значения ($L=1$):

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{7}{48}m}{mg \cdot 0.25}} = 2\pi \sqrt{\frac{7}{48 \cdot 9.8 \cdot 0.25}} = 2\pi \sqrt{\frac{7}{117.6}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{0.05952} \approx 6.2832 \cdot 0.244 \approx 1.533 \text{ с}$

Ответ: Теоретически рассчитанный период колебаний стержня, подвешенного на расстоянии 25 см от конца, составляет примерно $1.53$ с.

Доклад и обсуждение открытия

В ходе проведенных расчетов мы определили периоды колебаний одного и того же стержня, подвешенного в двух разных точках. В первом случае, когда стержень был подвешен за конец, период колебаний составил $T_1 \approx 1.64 \text{ с}$. Во втором случае, при смещении точки подвеса на 25 см к центру, период колебаний уменьшился и составил $T_2 \approx 1.53 \text{ с}$.

Главное открытие заключается в том, что период колебаний физического маятника зависит от выбора точки подвеса. Он не является постоянной величиной для данного тела, в отличие, например, от массы.

Объяснение: Как видно из формулы $T = 2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, период зависит от двух изменяющихся величин: момента инерции $I$ и расстояния $d$ от оси до центра масс. При изменении точки подвеса обе эти величины меняются, что приводит к изменению периода.

Дальнейшие рассуждения: Можно заметить, что при смещении точки подвеса от края к центру, период сначала уменьшается. Это связано с тем, что отношение $I/d$ уменьшается. Однако, если мы продолжим смещать точку подвеса к центру масс, расстояние $d$ будет стремиться к нулю. В этом случае период будет стремиться к бесконечности (маятник не будет колебаться). Это означает, что существует такая точка подвеса, при которой период колебаний будет минимальным. Для нашего стержня минимальный период ($T_{min} \approx 1.525 \text{ с}$) достигается при подвесе на расстоянии около $28.9 \text{ см}$ от центра масс, что очень близко ко второй точке в нашей задаче.

Рекомендации для эксперимента: Для экспериментального определения периода следует измерить время $t$ для большого числа полных колебаний $N$ (например, $N=30$) с помощью секундомера. Тогда период будет равен $T = t/N$. Это позволяет значительно уменьшить погрешность измерений.

► 579. В одном из опытов Галилей изучал колебания простых маятников (на нитях одинаковой длины подвешивал свинцовый и деревянный шарики одинакового радиуса). Периоды колебаний их оказались равными. Повторите опыт Галилея и на основании полученных результатов докажите, что ускорение свободного падения постоянно в данном месте на поверхности Земли.

Дано:

Два простых маятника:

1. Маятник со свинцовым шариком (масса $m_1$) на нити длиной $l$.

2. Маятник с деревянным шариком (масса $m_2$) на нити длиной $l$.

Длины нитей маятников одинаковы. Радиусы шариков одинаковы. Поскольку плотность свинца значительно больше плотности дерева, массы шариков различны: $m_1 > m_2$.

Из опыта известно, что периоды колебаний этих маятников равны: $T_1 = T_2$.

Доказать:

Ускорение свободного падения $g$ в данном месте постоянно и не зависит от массы или материала тела.

Решение:

Период колебаний математического маятника для малых амплитуд определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

где $T$ – период колебаний, $l$ – длина нити маятника, $g$ – ускорение свободного падения.

Запишем эту формулу для каждого из двух маятников, использованных в опыте Галилея. Пусть $g_1$ – ускорение свободного падения для свинцового шарика, а $g_2$ – для деревянного.

Период колебаний маятника со свинцовым шариком: $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_1}}$.

Период колебаний маятника с деревянным шариком: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_2}}$.

Согласно условию, основанному на эксперименте, периоды колебаний оказались равными, то есть $T_1 = T_2$.

Приравняем выражения для периодов:

$2\pi \sqrt{\frac{l}{g_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_2}}$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$\sqrt{\frac{l}{g_1}} = \sqrt{\frac{l}{g_2}}$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\frac{l}{g_1} = \frac{l}{g_2}$

Так как длина нити $l$ одинакова и не равна нулю, мы можем сократить её в обеих частях уравнения (или умножить обе части на $\frac{1}{l}$). Это приводит к выводу:

$g_1 = g_2$

Таким образом, эксперимент показывает, что ускорение, с которым падают тела, одинаково для свинцового и деревянного шариков, несмотря на их существенную разницу в массе и материале. Это доказывает, что ускорение свободного падения в данном месте на поверхности Земли является постоянной величиной для всех тел.

Ответ: Экспериментальное наблюдение, согласно которому периоды колебаний маятников одинаковой длины не зависят от массы и материала их грузов ($T_1 = T_2$), приводит к математическому выводу, что ускорение свободного падения для этих грузов также одинаково ($g_1 = g_2$). Следовательно, ускорение свободного падения в данном месте является константой, не зависящей от свойств падающего тела.

580. Какое из двух утверждений правильное: «Звучащее тело колеблется» или «Колеблющееся тело звучит»?

Чтобы определить, какое из утверждений верное, необходимо проанализировать связь между колебаниями и звуком. Звук — это распространение в пространстве механических колебаний упругой среды, воспринимаемых органами слуха.

Рассмотрим утверждение «Звучащее тело колеблется».
Это утверждение является верным. По определению, источником звука могут быть только тела, совершающие колебания. Эти колебания передаются окружающей среде (например, воздуху), создавая звуковые волны. Например, звучание струны музыкального инструмента вызвано её быстрыми колебаниями, звук колокола — колебаниями его стенок, а наш голос — колебаниями голосовых связок. Таким образом, если тело издаёт звук, оно непременно колеблется.

Рассмотрим утверждение «Колеблющееся тело звучит».
Это утверждение не всегда верно. Не всякое колеблющееся тело является источником слышимого звука. Для того чтобы мы услышали звук, должны выполняться два условия:

1. Частота колебаний должна лежать в диапазоне, воспринимаемом человеческим ухом, то есть примерно от $20$ Гц до $20000$ Гц. Тело может колебаться с очень низкой частотой (например, маятник, ветка дерева на ветру) или с очень высокой (ультразвуковой излучатель). В этих случаях мы не услышим звука, хотя колебания есть.

2. Амплитуда колебаний (и, как следствие, интенсивность звуковой волны) должна быть достаточной для восприятия нашим слухом. Если колебания слишком слабые, порог слышимости не будет преодолен, и мы ничего не услышим.

Следовательно, колебание — это необходимое, но не достаточное условие для возникновения слышимого звука.

Ответ: Правильным является утверждение «Звучащее тело колеблется».

581. Писк комара — звук более высокого тона, чем гудение шмеля. Какое из этих насекомых чаще взмахивает крылышками?

Решение

Высота тона звука напрямую зависит от частоты колебаний его источника. Чем выше частота колебаний, тем выше тон звука. В случае насекомых источником звука являются их крылья, которые, совершая частые взмахи, создают звуковые волны в воздухе.

Следовательно, частота звука, издаваемого насекомым, равна частоте взмахов его крыльев. Обозначим частоту звука (и взмахов крыльев) комара как $f_{комара}$, а шмеля — как $f_{шмеля}$.

По условию задачи, писк комара имеет более высокий тон, чем гудение шмеля. Это означает, что частота колебаний, создаваемых крыльями комара, больше, чем частота колебаний, создаваемых крыльями шмеля:

$f_{комара} > f_{шмеля}$

Из этого следует, что комар взмахивает крылышками чаще, чем шмель.

Ответ: Чаще взмахивает крылышками комар.

582. Камень, брошенный в стоячую воду реки, образует волны, разбегающиеся кругами (рис. 116). Какой формы получаются волны от камня, брошенного в текущую воду реки?

Рис. 116

Решение

Когда камень бросают в стоячую воду, волны распространяются от места падения с одинаковой скоростью во всех направлениях. Поэтому фронт каждой волны представляет собой окружность. Все волны, возникающие последовательно, образуют систему концентрических окружностей, то есть окружностей с общим центром в точке падения камня, как показано на рисунке.

Если же камень бросить в текущую воду, то среда, в которой распространяются волны (вода), сама движется с некоторой скоростью $v_{течения}$. Волны по-прежнему распространяются во все стороны относительно воды со скоростью $v_{волны}$. Однако для наблюдателя, стоящего на берегу, к скорости волн будет векторно добавляться скорость течения реки.

Это приводит к тому, что центр каждой образующейся круговой волны сносится вниз по течению. В любой момент времени $t$ после падения камня волна будет представлять собой окружность радиусом $r = v_{волны} \cdot t$, но ее центр сместится от точки падения вниз по течению на расстояние $s = v_{течения} \cdot t$.

Таким образом, форма отдельных волн останется круговой, но их центры не будут совпадать. Наблюдатель увидит систему неконцентрических (эксцентрических) окружностей, центры которых лежат на одной прямой, направленной вдоль течения реки. Окружности будут выглядеть сжатыми на стороне против течения и растянутыми на стороне по течению.

Ответ: Волны будут иметь форму окружностей, но они не будут концентрическими. Их центры будут смещаться вниз по течению реки, образуя систему эксцентрических окружностей.

583. В сосуд, из которого был откачан воздух, поместили колокол. Специальный часовой механизм автоматически заставлял колокол звонить. По мере увеличения разрежения воздуха в сосуде звучание колокола ослабевало и наконец становилось практически неслышным. Объясните результат этого эксперимента, проведённого О. Герике.

Решение

Этот классический эксперимент, проведенный Отто фон Герике, демонстрирует fundamental'ное свойство звука: для его распространения необходима среда.

Звук — это механическая волна, которая представляет собой распространяющиеся в пространстве колебания частиц упругой среды (газа, жидкости или твердого тела). Когда колокол звонит, его стенки вибрируют. В обычной атмосфере эти вибрации передаются молекулам воздуха, находящимся в контакте с колоколом. Молекулы воздуха начинают колебаться, передавая колебания соседним молекулам. Этот процесс распространяется во все стороны от источника, создавая звуковую волну. Когда эта волна достигает нашего уха, мы слышим звук.

В описанном эксперименте из сосуда, где находится колокол, откачивают воздух. По мере уменьшения количества воздуха (увеличения разрежения) среда, через которую должен распространяться звук, становится менее плотной. Остается все меньше и меньше молекул, способных передавать колебания от колокола. Из-за этого интенсивность звуковой волны, доходящей до стенок сосуда и, соответственно, до наблюдателя, падает, и звук становится тише.

Когда в сосуде создается глубокий вакуум (состояние, близкое к полному отсутствию вещества), среда для передачи механических колебаний практически исчезает. Несмотря на то, что сам колокол продолжает вибрировать, эти вибрации не могут распространяться дальше, так как в вакууме нет частиц, которые могли бы их передать. В результате звук перестает быть слышимым.

Ответ: Результат эксперимента объясняется тем, что звук представляет собой механическую волну, для распространения которой необходима упругая среда (в данном случае — воздух). По мере откачивания воздуха из сосуда среда для передачи звуковых колебаний становится все более разреженной, из-за чего звук ослабевает. В вакууме, где практически нет вещества, звук распространяться не может, поэтому звучание колокола становится неслышным.