Номер 578, страница 87 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 578, страница 87.

Условие.

► 578. Просверлите отверстия в стержне длиной 1 м ближе к его концу и на расстоянии примерно 25 см. Укрепите стержень на гвозде поочерёдно на каждом из отверстий. Определите периоды колебаний этих маятников, пользуясь секундомером. Сделайте об этом доклад в классе и обсудите своё открытие.

Решение.

Эта задача представляет собой описание физического эксперимента с физическим маятником, в роли которого выступает стержень. Требуется определить и сравнить периоды его колебаний при подвешивании в двух разных точках. Поскольку провести реальный эксперимент невозможно, мы выполним теоретический расчет и на его основе подготовим "доклад" с "открытием".

Стержень, колеблющийся на оси, не проходящей через его центр масс, является физическим маятником. Период малых колебаний физического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где:

• $I$ – момент инерции маятника относительно оси вращения,
• $m$ – масса маятника,
• $g$ – ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$),
• $d$ – расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Для однородного тонкого стержня длиной $L$ центр масс находится посередине, а момент инерции относительно центра масс равен $I_{ЦМ} = \frac{1}{12}mL^2$. Для нахождения момента инерции $I$ относительно произвольной оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, используется теорема Штейнера:

$I = I_{ЦМ} + md^2$

Дано:

Длина стержня: $L = 1 \text{ м}$
Расстояние от конца до второй точки подвеса: $x = 25 \text{ см}$

$L = 1 \text{ м}$
$x = 0.25 \text{ м}$

Найти:

Период колебаний для первого случая (подвес у конца): $T_1 - ?$
Период колебаний для второго случая (подвес на расстоянии 25 см от конца): $T_2 - ?$

Решение:

Определение периода колебаний для первого маятника (подвес у конца стержня)

В этом случае точка подвеса находится на одном из концов стержня. Центр масс однородного стержня находится на его середине, т.е. на расстоянии $L/2$ от конца.

1. Расстояние от оси вращения до центра масс:

$d_1 = \frac{L}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0.5 \text{ м}$

2. Момент инерции относительно конца стержня (по теореме Штейнера):

$I_1 = I_{ЦМ} + m d_1^2 = \frac{1}{12}mL^2 + m(\frac{L}{2})^2 = \frac{1}{12}mL^2 + \frac{1}{4}mL^2 = \frac{4}{12}mL^2 = \frac{1}{3}mL^2$

3. Период колебаний:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{I_1}{mgd_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg\frac{L}{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$

Подставим числовые значения:

$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{\frac{2}{29.4}} \approx 6.2832 \cdot \sqrt{0.068027} \approx 6.2832 \cdot 0.2608 \approx 1.639 \text{ с}$

Ответ: Теоретически рассчитанный период колебаний стержня, подвешенного за конец, составляет примерно $1.64$ с.

Определение периода колебаний для второго маятника (подвес на расстоянии 25 см от конца)

В этом случае точка подвеса находится на расстоянии $x = 0.25 \text{ м}$ от конца стержня.

1. Расстояние от оси вращения до центра масс:

Центр масс находится на расстоянии $L/2 = 0.5 \text{ м}$ от конца. Расстояние от новой точки подвеса до центра масс равно:

$d_2 = \frac{L}{2} - x = 0.5 \text{ м} - 0.25 \text{ м} = 0.25 \text{ м}$

2. Момент инерции относительно новой оси вращения (по теореме Штейнера):

$I_2 = I_{ЦМ} + m d_2^2 = \frac{1}{12}mL^2 + m(0.25)^2 = m(\frac{1}{12}(1)^2 + (0.25)^2) = m(\frac{1}{12} + 0.0625) \approx m(0.08333 + 0.0625) = 0.14583 m$

Более точно: $I_2 = m(\frac{1}{12} + \frac{1}{16}) = m(\frac{4+3}{48}) = \frac{7}{48}mL^2$

3. Период колебаний:

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{I_2}{mgd_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{7}{48}mL^2}{mgd_2}}$

Подставим числовые значения ($L=1$):

$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{7}{48}m}{mg \cdot 0.25}} = 2\pi \sqrt{\frac{7}{48 \cdot 9.8 \cdot 0.25}} = 2\pi \sqrt{\frac{7}{117.6}} \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot \sqrt{0.05952} \approx 6.2832 \cdot 0.244 \approx 1.533 \text{ с}$

Ответ: Теоретически рассчитанный период колебаний стержня, подвешенного на расстоянии 25 см от конца, составляет примерно $1.53$ с.

Доклад и обсуждение открытия

В ходе проведенных расчетов мы определили периоды колебаний одного и того же стержня, подвешенного в двух разных точках. В первом случае, когда стержень был подвешен за конец, период колебаний составил $T_1 \approx 1.64 \text{ с}$. Во втором случае, при смещении точки подвеса на 25 см к центру, период колебаний уменьшился и составил $T_2 \approx 1.53 \text{ с}$.

Главное открытие заключается в том, что период колебаний физического маятника зависит от выбора точки подвеса. Он не является постоянной величиной для данного тела, в отличие, например, от массы.

Объяснение: Как видно из формулы $T = 2\pi \sqrt{I/(mgd)}$, период зависит от двух изменяющихся величин: момента инерции $I$ и расстояния $d$ от оси до центра масс. При изменении точки подвеса обе эти величины меняются, что приводит к изменению периода.

Дальнейшие рассуждения: Можно заметить, что при смещении точки подвеса от края к центру, период сначала уменьшается. Это связано с тем, что отношение $I/d$ уменьшается. Однако, если мы продолжим смещать точку подвеса к центру масс, расстояние $d$ будет стремиться к нулю. В этом случае период будет стремиться к бесконечности (маятник не будет колебаться). Это означает, что существует такая точка подвеса, при которой период колебаний будет минимальным. Для нашего стержня минимальный период ($T_{min} \approx 1.525 \text{ с}$) достигается при подвесе на расстоянии около $28.9 \text{ см}$ от центра масс, что очень близко ко второй точке в нашей задаче.

Рекомендации для эксперимента: Для экспериментального определения периода следует измерить время $t$ для большого числа полных колебаний $N$ (например, $N=30$) с помощью секундомера. Тогда период будет равен $T = t/N$. Это позволяет значительно уменьшить погрешность измерений.