Номер 572, страница 86 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 572, страница 86.

Условие.

* 572. На сколько отстанут часы с маятником за одни сутки, если их с полюса Земли перенести на экватор? Считать, что на полюсе часы шли точно. Ускорение свободного падения на полюсе равно $9,83 \text{ м/с}^2$, на экваторе — $9,78 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на полюсе $g_п = 9,83 \text{ м/с}^2$

Ускорение свободного падения на экваторе $g_э = 9,78 \text{ м/с}^2$

Промежуток времени $t = 1 \text{ сутки}$

Перевод в СИ:

$t = 1 \cdot 24 \text{ часа} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{час}} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\Delta t$ — время, на которое отстанут часы.

Решение:

Ход маятниковых часов зависит от периода колебаний маятника, который определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

На полюсе, где часы идут точно (по условию), период колебаний маятника равен:

$T_п = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_п}}$

На экваторе ускорение свободного падения меньше, поэтому период колебаний увеличится и станет равен:

$T_э = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_э}}$

Поскольку часы откалиброваны по периоду $T_п$, время, которое они показывают, пропорционально числу совершенных колебаний. За истинный промежуток времени $t = 1 \text{ сутки}$ на экваторе маятник совершит $N_э = \frac{t}{T_э}$ колебаний.

Время, которое покажут часы ($t_{показ}$), будет равно произведению числа колебаний на "правильный" период, по которому они откалиброваны:

$t_{показ} = N_э \cdot T_п = \frac{t}{T_э} \cdot T_п = t \frac{T_п}{T_э}$

Отставание часов $\Delta t$ — это разница между истинным временем $t$ и временем, которое часы показали $t_{показ}$:

$\Delta t = t - t_{показ} = t - t \frac{T_п}{T_э} = t \left(1 - \frac{T_п}{T_э}\right)$

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_п}{T_э} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_п}}{2\pi\sqrt{l/g_э}} = \sqrt{\frac{g_э}{g_п}}$

Подставим это отношение в формулу для отставания:

$\Delta t = t \left(1 - \sqrt{\frac{g_э}{g_п}}\right)$

Произведем вычисления:

$\Delta t = 86400 \text{ с} \cdot \left(1 - \sqrt{\frac{9,78 \text{ м/с}^2}{9,83 \text{ м/с}^2}}\right) \approx 86400 \text{ с} \cdot \left(1 - \sqrt{0,9949135}\right)$

$\Delta t \approx 86400 \text{ с} \cdot (1 - 0,9974535) = 86400 \text{ с} \cdot 0,0025465 \approx 220,02 \text{ с}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем 220 с. Это составляет 3 минуты и 40 секунд.

Ответ: за одни сутки часы отстанут примерно на 220 секунд (3 минуты 40 секунд).