Номер 569, страница 86 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 569, страница 86.

Условие.

* 569. За одно и то же время один математический маятник совершает 50 полных колебаний, а другой — 30. Найдите длины маятников, если один из них длиннее другого на 32 см.

Решение.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 50$

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 30$

Разность длин маятников, $\Delta l = 32 \text{ см}$

Время колебаний одинаково, $t_1 = t_2 = t$

Система СИ:

$\Delta l = 0.32 \text{ м}$

Найти:

Длину первого маятника, $l_1 - ?$

Длину второго маятника, $l_2 - ?$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

С другой стороны, период – это время одного полного колебания, которое можно найти, разделив общее время колебаний $t$ на число колебаний $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Из этой формулы выразим общее время колебаний: $t = N \cdot T$.

Подставим в это выражение формулу периода маятника:

$t = N \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

По условию задачи, время, за которое маятники совершают свои колебания, одинаково ($t_1 = t_2$). Запишем равенство для двух маятников:

$N_1 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = N_2 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Сократим в уравнении общие множители $2\pi$ и $\sqrt{g}$:

$N_1\sqrt{l_1} = N_2\sqrt{l_2}$

Из этого соотношения следует, что чем больше число колебаний $N$, тем меньше длина маятника $l$. Поскольку $N_1 > N_2$ ($50 > 30$), то $l_1 < l_2$.

Выразим отношение квадратных корней из длин:

$\frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_2}} = \frac{N_2}{N_1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти отношение длин:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{30}{50}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Таким образом, мы получили первое уравнение, связывающее длины маятников: $l_1 = \frac{9}{25}l_2$.

Второе уравнение следует из условия, что один маятник длиннее другого на 32 см. Так как мы установили, что $l_2 > l_1$, то:

$l_2 - l_1 = \Delta l = 0.32 \text{ м}$

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} l_1 = \frac{9}{25}l_2 \\ l_2 - l_1 = 0.32 \end{cases}$

Подставим выражение для $l_1$ из первого уравнения во второе:

$l_2 - \frac{9}{25}l_2 = 0.32$

$\frac{25l_2 - 9l_2}{25} = 0.32$

$\frac{16}{25}l_2 = 0.32$

Найдем длину второго, более длинного маятника:

$l_2 = \frac{0.32 \cdot 25}{16} = 0.02 \cdot 25 = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем длину первого маятника:

$l_1 = l_2 - 0.32 = 0.5 - 0.32 = 0.18 \text{ м}$

Таким образом, длина одного маятника составляет 0.18 м (18 см), а второго — 0.5 м (50 см).

Ответ: длины маятников равны 18 см и 50 см.