Номер 571, страница 86 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания. Механические колебания и волны. Звук - номер 571, страница 86.

* 571. Груз, подвешенный на пружине, колеблется с периодом колебаний 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если с неё снять груз?

Дано:

Период колебаний, $T = 0,5$ с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Укорочение пружины, $\Delta l$ - ?

Решение:

Величина, на которую укоротится пружина после снятия груза, равна её растяжению $\Delta l$ в положении равновесия под действием веса этого груза. В положении равновесия сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины.

$F_{тяж} = F_{упр}$

Сила тяжести определяется как $F_{тяж} = mg$, а сила упругости по закону Гука — $F_{упр} = k\Delta l$, где $m$ — масса груза, а $k$ — жёсткость пружины. Таким образом, условие равновесия имеет вид:

$mg = k\Delta l$

Отсюда искомое растяжение (которое равно укорочению после снятия груза) пружины равно:

$\Delta l = \frac{mg}{k}$

Период колебаний пружинного маятника связан с массой груза и жёсткостью пружины следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить отношение $\frac{m}{k}$:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$

Из этого уравнения получаем:

$\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $\frac{m}{k}$ в формулу для $\Delta l$:

$\Delta l = g \cdot \left(\frac{m}{k}\right) = g \frac{T^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения ($T = 0,5$ с, $g \approx 9,8$ м/с$^2$, $\pi \approx 3,14$):

$\Delta l = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,5 \text{ с})^2}{4 \cdot (3,14)^2} \approx \frac{9,8 \cdot 0,25}{4 \cdot 9,8596} \approx \frac{2,45}{39,4384} \approx 0,0621 \text{ м}$

Переведём результат в сантиметры и округлим:

$0,0621 \text{ м} \approx 6,2 \text{ см}$

Ответ: пружина укоротится примерно на 6,2 см.