Номер 573, страница 86 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 573, страница 86.

Условие.

* 573. Часы с маятником идут точно при длине маятника 55,8 см. На сколько отстанут часы за одни сутки, если длина маятника увеличится на 0,5 см?

Решение.

Дано:

$l_1=55,8 \text{ см}$

$\Delta l = 0,5 \text{ см}$

$t = 1 \text{ сутки}$

Перевод в систему СИ:
$l_1 = 0,558 \text{ м}$
$l_2 = l_1 + \Delta l = 55,8 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 56,3 \text{ см} = 0,563 \text{ м}$
$t = 1 \text{ сутки} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\Delta t$ - время отставания часов за сутки.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ - длина маятника, а $g$ - ускорение свободного падения.

Когда часы идут точно, период их колебаний равен $T_1$ при длине маятника $l_1$. За одни сутки ($t = 86400 \text{ с}$) маятник совершает $N$ колебаний, где $N = \frac{t}{T_1}$.

При увеличении длины маятника до $l_2 = l_1 + \Delta l$ период колебаний также увеличится и станет равен $T_2$. Так как $l_2 > l_1$, то и $T_2 > T_1$. Это означает, что маятник будет колебаться медленнее, и часы начнут отставать.

За то же самое время $t$ (реальные сутки) маятник с новой длиной совершит меньшее число колебаний, чем $N$. Однако, чтобы определить отставание, удобнее рассмотреть, сколько реального времени $t'$ потребуется маятнику, чтобы совершить "суточное" число колебаний $N$.

$t' = N \cdot T_2 = \frac{t}{T_1} \cdot T_2 = t \frac{T_2}{T_1}$

Отставание часов за сутки $\Delta t$ будет равно разности между этим временем $t'$ и реальными сутками $t$:

$\Delta t = t' - t = t \frac{T_2}{T_1} - t = t \left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right)$

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Подставим это отношение в формулу для отставания:

$\Delta t = t \left(\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} - 1\right)$

Теперь подставим числовые значения:

$\Delta t = 86400 \text{ с} \cdot \left(\sqrt{\frac{0,563 \text{ м}}{0,558 \text{ м}}} - 1\right) \approx 86400 \cdot \left(\sqrt{1,00896} - 1\right)$

$\Delta t \approx 86400 \cdot (1,00447 - 1) = 86400 \cdot 0,00447$

$\Delta t \approx 386,2 \text{ с}$

Округлим до целого числа секунд.

$\Delta t \approx 386 \text{ с}$

Можно также перевести это время в минуты и секунды: $386 \text{ с} = 6 \text{ мин} \ 26 \text{ с}$.

Ответ: за одни сутки часы отстанут примерно на $386 \text{ с}$ (или 6 минут 26 секунд).