Страница 86 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

* 569. За одно и то же время один математический маятник совершает 50 полных колебаний, а другой — 30. Найдите длины маятников, если один из них длиннее другого на 32 см.

Дано:

Число колебаний первого маятника, $N_1 = 50$

Число колебаний второго маятника, $N_2 = 30$

Разность длин маятников, $\Delta l = 32 \text{ см}$

Время колебаний одинаково, $t_1 = t_2 = t$

Система СИ:

$\Delta l = 0.32 \text{ м}$

Найти:

Длину первого маятника, $l_1 - ?$

Длину второго маятника, $l_2 - ?$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

С другой стороны, период – это время одного полного колебания, которое можно найти, разделив общее время колебаний $t$ на число колебаний $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Из этой формулы выразим общее время колебаний: $t = N \cdot T$.

Подставим в это выражение формулу периода маятника:

$t = N \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

По условию задачи, время, за которое маятники совершают свои колебания, одинаково ($t_1 = t_2$). Запишем равенство для двух маятников:

$N_1 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = N_2 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Сократим в уравнении общие множители $2\pi$ и $\sqrt{g}$:

$N_1\sqrt{l_1} = N_2\sqrt{l_2}$

Из этого соотношения следует, что чем больше число колебаний $N$, тем меньше длина маятника $l$. Поскольку $N_1 > N_2$ ($50 > 30$), то $l_1 < l_2$.

Выразим отношение квадратных корней из длин:

$\frac{\sqrt{l_1}}{\sqrt{l_2}} = \frac{N_2}{N_1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти отношение длин:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{N_2}{N_1}\right)^2$

Подставим числовые значения:

$\frac{l_1}{l_2} = \left(\frac{30}{50}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Таким образом, мы получили первое уравнение, связывающее длины маятников: $l_1 = \frac{9}{25}l_2$.

Второе уравнение следует из условия, что один маятник длиннее другого на 32 см. Так как мы установили, что $l_2 > l_1$, то:

$l_2 - l_1 = \Delta l = 0.32 \text{ м}$

Решим систему из двух уравнений:

$\begin{cases} l_1 = \frac{9}{25}l_2 \\ l_2 - l_1 = 0.32 \end{cases}$

Подставим выражение для $l_1$ из первого уравнения во второе:

$l_2 - \frac{9}{25}l_2 = 0.32$

$\frac{25l_2 - 9l_2}{25} = 0.32$

$\frac{16}{25}l_2 = 0.32$

Найдем длину второго, более длинного маятника:

$l_2 = \frac{0.32 \cdot 25}{16} = 0.02 \cdot 25 = 0.5 \text{ м}$

Теперь найдем длину первого маятника:

$l_1 = l_2 - 0.32 = 0.5 - 0.32 = 0.18 \text{ м}$

Таким образом, длина одного маятника составляет 0.18 м (18 см), а второго — 0.5 м (50 см).

Ответ: длины маятников равны 18 см и 50 см.

* 570. Один математический маятник имеет период колебаний 3 с, а другой — 4 с. Рассчитайте период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин этих маятников.

Дано:

Период первого маятника $T_1 = 3$ с

Период второго маятника $T_2 = 4$ с

Длина третьего маятника $l_3 = l_1 + l_2$

Найти:

Период третьего маятника $T_3$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина нити маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Запишем формулы для периодов первого и второго маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Чтобы найти длины маятников $l_1$ и $l_2$, возведем обе части каждого уравнения в квадрат и выразим $l$:

$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g} \implies l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Тогда для наших маятников:

$l_1 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$

По условию задачи, длина третьего маятника $l_3$ равна сумме длин первых двух:

$l_3 = l_1 + l_2 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2} + \frac{T_2^2 g}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)$

Период третьего маятника $T_3$ можно найти, подставив его длину $l_3$ в основную формулу периода:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{l_3}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{g}}$

Сократим $g$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Извлечем $4\pi^2$ из-под корня:

$T_3 = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Теперь подставим числовые значения периодов $T_1$ и $T_2$:

$T_3 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ с.

Ответ: период колебаний искомого маятника равен 5 с.

* 571. Груз, подвешенный на пружине, колеблется с периодом колебаний 0,5 с. На сколько укоротится пружина, если с неё снять груз?

Дано:

Период колебаний, $T = 0,5$ с
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Укорочение пружины, $\Delta l$ - ?

Решение:

Величина, на которую укоротится пружина после снятия груза, равна её растяжению $\Delta l$ в положении равновесия под действием веса этого груза. В положении равновесия сила тяжести, действующая на груз, уравновешивается силой упругости пружины.

$F_{тяж} = F_{упр}$

Сила тяжести определяется как $F_{тяж} = mg$, а сила упругости по закону Гука — $F_{упр} = k\Delta l$, где $m$ — масса груза, а $k$ — жёсткость пружины. Таким образом, условие равновесия имеет вид:

$mg = k\Delta l$

Отсюда искомое растяжение (которое равно укорочению после снятия груза) пружины равно:

$\Delta l = \frac{mg}{k}$

Период колебаний пружинного маятника связан с массой груза и жёсткостью пружины следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить отношение $\frac{m}{k}$:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{m}{k}$

Из этого уравнения получаем:

$\frac{m}{k} = \frac{T^2}{4\pi^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $\frac{m}{k}$ в формулу для $\Delta l$:

$\Delta l = g \cdot \left(\frac{m}{k}\right) = g \frac{T^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения ($T = 0,5$ с, $g \approx 9,8$ м/с$^2$, $\pi \approx 3,14$):

$\Delta l = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (0,5 \text{ с})^2}{4 \cdot (3,14)^2} \approx \frac{9,8 \cdot 0,25}{4 \cdot 9,8596} \approx \frac{2,45}{39,4384} \approx 0,0621 \text{ м}$

Переведём результат в сантиметры и округлим:

$0,0621 \text{ м} \approx 6,2 \text{ см}$

Ответ: пружина укоротится примерно на 6,2 см.

* 572. На сколько отстанут часы с маятником за одни сутки, если их с полюса Земли перенести на экватор? Считать, что на полюсе часы шли точно. Ускорение свободного падения на полюсе равно $9,83 \text{ м/с}^2$, на экваторе — $9,78 \text{ м/с}^2$.

Дано:

Ускорение свободного падения на полюсе $g_п = 9,83 \text{ м/с}^2$

Ускорение свободного падения на экваторе $g_э = 9,78 \text{ м/с}^2$

Промежуток времени $t = 1 \text{ сутки}$

Перевод в СИ:

$t = 1 \cdot 24 \text{ часа} \cdot 3600 \frac{\text{с}}{\text{час}} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\Delta t$ — время, на которое отстанут часы.

Решение:

Ход маятниковых часов зависит от периода колебаний маятника, который определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

На полюсе, где часы идут точно (по условию), период колебаний маятника равен:

$T_п = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_п}}$

На экваторе ускорение свободного падения меньше, поэтому период колебаний увеличится и станет равен:

$T_э = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_э}}$

Поскольку часы откалиброваны по периоду $T_п$, время, которое они показывают, пропорционально числу совершенных колебаний. За истинный промежуток времени $t = 1 \text{ сутки}$ на экваторе маятник совершит $N_э = \frac{t}{T_э}$ колебаний.

Время, которое покажут часы ($t_{показ}$), будет равно произведению числа колебаний на "правильный" период, по которому они откалиброваны:

$t_{показ} = N_э \cdot T_п = \frac{t}{T_э} \cdot T_п = t \frac{T_п}{T_э}$

Отставание часов $\Delta t$ — это разница между истинным временем $t$ и временем, которое часы показали $t_{показ}$:

$\Delta t = t - t_{показ} = t - t \frac{T_п}{T_э} = t \left(1 - \frac{T_п}{T_э}\right)$

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_п}{T_э} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_п}}{2\pi\sqrt{l/g_э}} = \sqrt{\frac{g_э}{g_п}}$

Подставим это отношение в формулу для отставания:

$\Delta t = t \left(1 - \sqrt{\frac{g_э}{g_п}}\right)$

Произведем вычисления:

$\Delta t = 86400 \text{ с} \cdot \left(1 - \sqrt{\frac{9,78 \text{ м/с}^2}{9,83 \text{ м/с}^2}}\right) \approx 86400 \text{ с} \cdot \left(1 - \sqrt{0,9949135}\right)$

$\Delta t \approx 86400 \text{ с} \cdot (1 - 0,9974535) = 86400 \text{ с} \cdot 0,0025465 \approx 220,02 \text{ с}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем 220 с. Это составляет 3 минуты и 40 секунд.

Ответ: за одни сутки часы отстанут примерно на 220 секунд (3 минуты 40 секунд).

* 573. Часы с маятником идут точно при длине маятника 55,8 см. На сколько отстанут часы за одни сутки, если длина маятника увеличится на 0,5 см?

Дано:

$l_1=55,8 \text{ см}$

$\Delta l = 0,5 \text{ см}$

$t = 1 \text{ сутки}$

Перевод в систему СИ:
$l_1 = 0,558 \text{ м}$
$l_2 = l_1 + \Delta l = 55,8 \text{ см} + 0,5 \text{ см} = 56,3 \text{ см} = 0,563 \text{ м}$
$t = 1 \text{ сутки} = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\Delta t$ - время отставания часов за сутки.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ - длина маятника, а $g$ - ускорение свободного падения.

Когда часы идут точно, период их колебаний равен $T_1$ при длине маятника $l_1$. За одни сутки ($t = 86400 \text{ с}$) маятник совершает $N$ колебаний, где $N = \frac{t}{T_1}$.

При увеличении длины маятника до $l_2 = l_1 + \Delta l$ период колебаний также увеличится и станет равен $T_2$. Так как $l_2 > l_1$, то и $T_2 > T_1$. Это означает, что маятник будет колебаться медленнее, и часы начнут отставать.

За то же самое время $t$ (реальные сутки) маятник с новой длиной совершит меньшее число колебаний, чем $N$. Однако, чтобы определить отставание, удобнее рассмотреть, сколько реального времени $t'$ потребуется маятнику, чтобы совершить "суточное" число колебаний $N$.

$t' = N \cdot T_2 = \frac{t}{T_1} \cdot T_2 = t \frac{T_2}{T_1}$

Отставание часов за сутки $\Delta t$ будет равно разности между этим временем $t'$ и реальными сутками $t$:

$\Delta t = t' - t = t \frac{T_2}{T_1} - t = t \left(\frac{T_2}{T_1} - 1\right)$

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{l_2/g}}{2\pi\sqrt{l_1/g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Подставим это отношение в формулу для отставания:

$\Delta t = t \left(\sqrt{\frac{l_2}{l_1}} - 1\right)$

Теперь подставим числовые значения:

$\Delta t = 86400 \text{ с} \cdot \left(\sqrt{\frac{0,563 \text{ м}}{0,558 \text{ м}}} - 1\right) \approx 86400 \cdot \left(\sqrt{1,00896} - 1\right)$

$\Delta t \approx 86400 \cdot (1,00447 - 1) = 86400 \cdot 0,00447$

$\Delta t \approx 386,2 \text{ с}$

Округлим до целого числа секунд.

$\Delta t \approx 386 \text{ с}$

Можно также перевести это время в минуты и секунды: $386 \text{ с} = 6 \text{ мин} \ 26 \text{ с}$.

Ответ: за одни сутки часы отстанут примерно на $386 \text{ с}$ (или 6 минут 26 секунд).

574. Массивный шарик, подвешенный к потолку на упругой пружине, совершает вертикальные гармонические колебания. Как меняется модуль и каково направление векторов скорости и ускорения шарика в момент, когда шарик проходит положение равновесия, двигаясь вниз?

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ВЕКТОР

МОДУЛЬ И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА А) скорость шарика Б) ускорение шарика 1) достигает максимума; вверх 2) достигает максимума; вниз 3) равняется нулю

А

Б

Решение

Рассмотрим гармонические колебания шарика на пружине. Положение равновесия — это точка, в которой сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю. В данном случае это сила тяжести, направленная вниз, и сила упругости пружины, направленная вверх. Когда шарик находится в этой точке, силы уравновешивают друг друга.

А) скорость шарика

При гармонических колебаниях происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно. В положении равновесия потенциальная энергия системы (гравитационная и упругая) минимальна, а кинетическая энергия $E_k = \frac{mv^2}{2}$ максимальна. Поскольку масса шарика $m$ постоянна, максимальной кинетической энергии соответствует максимальный модуль скорости $v$. В условии сказано, что шарик движется вниз. Следовательно, в момент прохождения положения равновесия скорость шарика достигает своего максимального значения по модулю и направлена вниз.

Ответ: 2

Б) ускорение шарика

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $\vec{a}$ определяется равнодействующей всех приложенных к нему сил: $\vec{F}_{равн} = m\vec{a}$. В положении равновесия, по определению, равнодействующая сила равна нулю ($\vec{F}_{равн} = 0$), так как сила тяжести полностью компенсируется силой упругости пружины. Из этого следует, что ускорение шарика в данной точке также равно нулю ($\vec{a} = 0$).

Ответ: 3

► 575. Вы едете в автобусе и заметили следующую закономерность: чем больше людей в автобусе, тем меньше трясёт. Смоделируйте этот процесс с помощью пружинного маятника и объясните явление.

Решение

Данное явление можно объяснить, смоделировав систему "автобус-подвеска" как пружинный маятник. В этой модели кузов автобуса вместе с пассажирами является грузом с общей массой $m$, а система подвески (рессоры, амортизаторы) — пружиной с жесткостью $k$. Тряска, которую мы ощущаем, — это вынужденные колебания, вызванные неровностями дороги.

Период собственных колебаний такой системы определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$, а частота собственных колебаний, соответственно: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Когда в автобус заходят пассажиры, его общая масса $m$ увеличивается. Из формул видно, что с ростом массы собственная частота колебаний $f$ системы уменьшается, а период $T$ — увеличивается. Это означает, что колебания становятся более медленными, "плавными".

Основная причина уменьшения тряски заключается в явлении резонанса. Амплитуда вынужденных колебаний (то есть сила тряски) максимальна, когда частота внешнего воздействия (от неровностей дороги) совпадает с собственной частотой системы. Подвеска автобуса спроектирована так, чтобы его собственная частота не совпадала с типичными частотами дорожных неровностей.

Когда автобус пустой, его масса меньше, а собственная частота колебаний выше. Эта частота может быть достаточно близка к частоте воздействия от мелких и частых неровностей, что вызывает заметную тряску.

Когда автобус заполняется людьми, его масса возрастает, а собственная частота колебаний снижается. В результате она "уходит" дальше от диапазона частот внешнего воздействия дороги. Расхождение между собственной частотой и частотой вынуждающей силы приводит к резкому уменьшению амплитуды колебаний, то есть тряска становится значительно меньше.

Дополнительным фактором является инертность. Тело с большей массой обладает большей инерцией, то есть сильнее сопротивляется изменению своего состояния движения. Поэтому более тяжелый автобус слабее реагирует на толчки от дороги (при той же силе воздействия он получает меньшее ускорение, $a = F/m$), что также способствует более плавному ходу.

Ответ: Автобус на подвеске можно рассматривать как пружинный маятник. Когда в автобус заходят пассажиры, его общая масса увеличивается. Согласно формуле для частоты колебаний пружинного маятника $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$, увеличение массы ($m$) приводит к уменьшению собственной частоты колебаний. Это приводит к тому, что собственная частота колебаний автобуса становится дальше от частоты внешнего воздействия (неровностей дороги), что уменьшает амплитуду вынужденных колебаний (тряску), избегая резонанса. Также из-за большей инертности более тяжелый автобус меньше реагирует на толчки от неровностей.