Страница 82 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

543. Амплитуда колебаний груза, подвешенного на пружине, равна 20 см, период колебаний 0,25 с. Какой путь пройдёт груз за 1 с?

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 20 \text{ см}$

Период колебаний, $T = 0,25 \text{ с}$

Время, $t = 1 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$A = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

Найти:

Путь, пройденный грузом, $S$.

Решение:

За один полный период колебаний груз проходит путь, равный четырем амплитудам ($4A$). Это связано с тем, что груз движется от положения равновесия к одному крайнему положению (путь $A$), возвращается к положению равновесия (еще $A$), движется к другому крайнему положению (еще $A$) и снова возвращается в положение равновесия (еще $A$).

Сначала определим, сколько полных колебаний $N$ совершит груз за заданное время $t$. Для этого разделим общее время на период одного колебания:

$N = \frac{t}{T}$

Подставим известные значения:

$N = \frac{1 \text{ с}}{0,25 \text{ с}} = 4$

Таким образом, за 1 секунду груз совершит ровно 4 полных колебания.

Общий путь $S$, пройденный грузом, равен произведению числа колебаний $N$ на путь, проходимый за одно колебание ($4A$).

$S = N \cdot 4A$

Подставим числовые значения, используя данные в системе СИ:

$S = 4 \cdot 4 \cdot 0,2 \text{ м} = 16 \cdot 0,2 \text{ м} = 3,2 \text{ м}$

Ответ: за 1 с груз пройдёт путь 3,2 м.

544. Пружинный маятник совершает 120 колебаний за 1 мин. Чему равно перемещение маятника за 2 мин, если амплитуда колебаний 20 см?

Дано:

Число колебаний $N_1 = 120$

Промежуток времени $t_1 = 1$ мин

Амплитуда колебаний $A = 20$ см

Промежуток времени для определения перемещения $t_2 = 2$ мин

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 1 \cdot 60 = 60 \text{ с}$

$t_2 = 2 \cdot 60 = 120 \text{ с}$

$A = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

Перемещение маятника $\Delta x$ за время $t_2$.

Решение:

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Для решения задачи необходимо определить, где окажется маятник через 2 минуты относительно своего начального положения.

1. Сначала найдем период колебаний маятника ($T$). Период – это время одного полного колебания. По определению:

$T = \frac{t_1}{N_1}$

Подставляем данные из условия:

$T = \frac{60 \text{ с}}{120} = 0.5 \text{ с}$

2. Теперь определим, сколько полных колебаний ($N_2$) совершит маятник за интересующий нас промежуток времени $t_2 = 2$ мин = 120 с.

$N_2 = \frac{t_2}{T}$

Подставляем вычисленный период и заданное время:

$N_2 = \frac{120 \text{ с}}{0.5 \text{ с}} = 240$

3. Маятник совершит ровно 240 полных колебаний. По определению, одно полное колебание — это движение, после которого тело возвращается в исходное положение, имея ту же скорость. Поскольку маятник совершил целое число полных колебаний, его конечное положение будет совпадать с начальным.

4. Таким образом, перемещение маятника, как разность между конечной и начальной координатами, равно нулю.

$\Delta x = x_{конечное} - x_{начальное} = 0$

Следует отличать перемещение от пройденного пути. Путь – это длина траектории. За одно колебание маятник проходит путь, равный четырем амплитудам ($4A$). За 240 колебаний пройденный путь составил бы $L = N_2 \cdot 4A = 240 \cdot 4 \cdot 0.2 \text{ м} = 192 \text{ м}$. Однако в задаче требуется найти именно перемещение.

Ответ: перемещение маятника за 2 мин равно 0.

545. Груз массой 200 г, прикреплённый к пружине, совершает колебания с частотой 4 Гц. Чему равна жёсткость пружины?

Дано:

$m = 200 \text{ г}$

$\nu = 4 \text{ Гц}$

Перевод в систему СИ:

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$k$

Решение:

Колебания груза на пружине представляют собой гармонические колебания. Частота таких колебаний связана с массой груза $m$ и жёсткостью пружины $k$ следующей формулой:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Чтобы найти жёсткость пружины $k$, выразим её из этой формулы. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$\nu^2 = \frac{1}{4\pi^2}\frac{k}{m}$

Теперь выразим $k$:

$k = 4\pi^2 m \nu^2$

Подставим известные значения в систему СИ:

$k = 4 \cdot \pi^2 \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot (4 \text{ Гц})^2$

$k = 4 \cdot \pi^2 \cdot 0.2 \cdot 16 \text{ Н/м}$

$k = 12.8 \pi^2 \text{ Н/м}$

Приближенно, считая $\pi^2 \approx 9.87$:

$k \approx 12.8 \cdot 9.87 \text{ Н/м} \approx 126.336 \text{ Н/м}$

Округлим результат до десятых.

Ответ: жёсткость пружины составляет приблизительно 126,3 Н/м.

546. Груз, колеблющийся на пружине, жёсткость которой равна 250 Н/м, делает 40 колебаний за 32 с. Чему равна масса груза?

Дано:

Жёсткость пружины, $k = 250$ Н/м

Число колебаний, $N = 40$

Время колебаний, $t = 32$ с

Найти:

Массу груза, $m$

Решение:

Период колебаний $T$ — это время, за которое совершается одно полное колебание. Его можно найти, разделив общее время колебаний $t$ на число колебаний $N$.

$T = \frac{t}{N}$

Подставим известные значения, чтобы найти период:

$T = \frac{32 \text{ с}}{40} = 0.8 \text{ с}$

Период колебаний пружинного маятника также определяется его массой $m$ и жёсткостью пружины $k$ по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти массу $m$, выразим её из этой формулы. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{m}{k} = 4\pi^2 \frac{m}{k}$

Теперь выразим массу $m$:

$m = \frac{k \cdot T^2}{4\pi^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.8 \text{ с})^2}{4\pi^2} = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot 0.64 \text{ с}^2}{4\pi^2} = \frac{160 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2 \cdot \text{с}^2 / \text{м}}{4\pi^2} = \frac{160 \text{ кг}}{4\pi^2} = \frac{40}{\pi^2} \text{ кг}$

Для вычисления воспользуемся приближённым значением $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.87$.

$m \approx \frac{40}{9.87} \approx 4.05 \text{ кг}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $4.1$ кг.

Ответ: масса груза примерно равна 4.1 кг.

547. Рассчитайте длину нити математического маятника, совершающего колебания с частотой $0,5 \text{ Гц}$ на поверхности Луны. Ускорение свободного падения на Луне равно $1,6 \text{ м}/\text{с}^2$.

Дано:

Частота колебаний, $v = 0,5$ Гц

Ускорение свободного падения на Луне, $g_Л = 1,6$ м/с²

Найти:

Длину нити маятника, $l$

Решение:

Период колебаний $T$ математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина нити маятника, $g$ — ускорение свободного падения.

Частота колебаний $v$ и период $T$ связаны обратной зависимостью:

$v = \frac{1}{T}$

Из этой формулы выразим период: $T = \frac{1}{v}$.

Теперь приравняем два выражения для периода, используя ускорение свободного падения на Луне $g_Л$:

$\frac{1}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_Л}}$

Чтобы найти длину нити $l$, выразим ее из полученного уравнения. Для этого сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{1}{v})^2 = (2\pi \sqrt{\frac{l}{g_Л}})^2$

$\frac{1}{v^2} = 4\pi^2 \frac{l}{g_Л}$

Теперь выразим $l$:

$l = \frac{g_Л}{4\pi^2 v^2}$

Подставим известные значения в формулу:

$l = \frac{1,6 \text{ м/с}^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot (0,5 \text{ Гц})^2} = \frac{1,6}{4 \cdot \pi^2 \cdot 0,25} = \frac{1,6}{\pi^2}$

Примем значение $\pi \approx 3,14$, тогда $\pi^2 \approx 9,86$.

$l \approx \frac{1,6}{9,86} \approx 0,162 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$l \approx 0,16 \text{ м}$

Ответ: длина нити математического маятника составляет примерно 0,16 м.

548. При экспериментальном определении ускорения свободного падения учащийся насчитал 150 колебаний маятника за 5 мин. Какое значение он получил, если длина нитяного маятника равна 1 м?

Дано:

Число колебаний $N = 150$

Время колебаний $t = 5$ мин

Длина нити маятника $l = 1$ м

$t = 5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$

Найти:

$g$

Решение:

Для начала определим период колебаний маятника $T$. Период — это время одного полного колебания. Его можно рассчитать, разделив общее время колебаний $t$ на число совершенных за это время колебаний $N$.

$T = \frac{t}{N}$

Подставим известные значения в формулу:

$T = \frac{300 \text{ с}}{150} = 2 \text{ с}$

Период колебаний математического маятника также описывается формулой Гюйгенса, которая связывает период с длиной нити маятника $l$ и ускорением свободного падения $g$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Чтобы найти искомое значение $g$, выразим его из этой формулы. Для этого возведем в квадрат обе части уравнения:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

Теперь выразим $g$:

$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$g = \frac{4\pi^2 \cdot 1 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{4\pi^2}{4} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \pi^2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Для получения численного ответа воспользуемся приближенным значением числа $\pi \approx 3,1416$:

$g \approx (3,1416)^2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 9,8696 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округлив результат до сотых, получим:

$g \approx 9,87 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: полученное значение ускорения свободного падения составляет $9,87 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

549. Чему равно ускорение свободного падения на поверхности планеты Марс при условии, что там математический маятник длиной 50 см совершил бы 20 колебаний за 40 с?

Дано:

Длина маятника, $l = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Число колебаний, $N = 20$

Время колебаний, $t = 40 \text{ с}$

Найти:

Ускорение свободного падения на Марсе, $g$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника $T$ связан с его длиной $l$ и ускорением свободного падения $g$ следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Период колебаний можно определить из условия задачи, разделив общее время колебаний $t$ на количество колебаний $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим данные из условия:

$T = \frac{40 \text{ с}}{20} = 2 \text{ с}$

Теперь выразим ускорение свободного падения $g$ из формулы для периода маятника. Для этого возведем обе части формулы в квадрат:

$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

Отсюда находим $g$:

$g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Подставим известные численные значения в эту формулу:

$g = \frac{4\pi^2 \cdot 0.5 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2} = \frac{2\pi^2 \text{ м}}{4 \text{ с}^2} = \frac{\pi^2}{2} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Примем значение $\pi \approx 3.14$ и вычислим результат:

$g \approx \frac{(3.14)^2}{2} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx \frac{9.8596}{2} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 4.93 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: Ускорение свободного падения на поверхности Марса равно приблизительно $4.93 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

550. По данным таблицы, относящимся к колебаниям математического маятника, составьте и решите задачи.

Задание 1:

Дано: время $t = 25$ с, число колебаний $N = 50$. Найти: период $T$, частоту $v$.

Задание 2:

Дано: время $t = 15$ с, частота $v = 100$ Гц. Найти: число колебаний $N$, период $T$.

Задание 3:

Дано: число колебаний $N = 10$, период $T = 2$ с. Найти: время $t$, частоту $v$.

Задание 4:

Дано: число колебаний $N = 200$, частота $v = 50$ Гц. Найти: время $t$, период $T$.

Задание 5:

Дано: время $t = 200$ с, период $T = 2$ с. Найти: число колебаний $N$, частоту $v$.

Для решения задач воспользуемся следующими формулами, связывающими время колебаний ($t$), число колебаний ($N$), период ($T$) и частоту ($\nu$):

Период колебаний: $T = \frac{t}{N}$

Частота колебаний: $\nu = \frac{N}{t}$

Связь между периодом и частотой: $T = \frac{1}{\nu}$ и $\nu = \frac{1}{T}$

1 Дано:

$t = 25$ с

$N = 50$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$T$ - ?

$\nu$ - ?

Решение:

Период колебаний ($T$) — это время одного полного колебания. Он определяется по формуле:

$T = \frac{t}{N}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{25 \text{ с}}{50} = 0.5 \text{ с}$

Частота колебаний ($\nu$) — это число колебаний в единицу времени. Она связана с периодом обратной зависимостью:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим найденное значение периода:

$\nu = \frac{1}{0.5 \text{ с}} = 2 \text{ Гц}$

Ответ: $T = 0.5$ с, $\nu = 2$ Гц.

2 Дано:

$t = 15$ с

$\nu = 100$ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$N$ - ?

$T$ - ?

Решение:

Период и частота колебаний связаны соотношением:

$T = \frac{1}{\nu}$

Подставим известное значение частоты:

$T = \frac{1}{100 \text{ Гц}} = 0.01 \text{ с}$

Число колебаний ($N$) можно найти из формулы для частоты:

$\nu = \frac{N}{t} \implies N = \nu \cdot t$

Подставим известные значения:

$N = 100 \text{ Гц} \cdot 15 \text{ с} = 1500$

Ответ: $N = 1500$, $T = 0.01$ с.

3 Дано:

$N = 10$

$T = 2$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$t$ - ?

$\nu$ - ?

Решение:

Время колебаний ($t$) можно найти из формулы для периода:

$T = \frac{t}{N} \implies t = T \cdot N$

Подставим известные значения:

$t = 2 \text{ с} \cdot 10 = 20 \text{ с}$

Частоту колебаний ($\nu$) найдем как величину, обратную периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим известное значение периода:

$\nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Ответ: $t = 20$ с, $\nu = 0.5$ Гц.

4 Дано:

$N = 200$

$\nu = 50$ Гц

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$t$ - ?

$T$ - ?

Решение:

Период колебаний ($T$) найдем как величину, обратную частоте:

$T = \frac{1}{\nu}$

Подставим известное значение частоты:

$T = \frac{1}{50 \text{ Гц}} = 0.02 \text{ с}$

Время колебаний ($t$) можно найти из формулы для частоты:

$\nu = \frac{N}{t} \implies t = \frac{N}{\nu}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{200}{50 \text{ Гц}} = 4 \text{ с}$

Ответ: $t = 4$ с, $T = 0.02$ с.

5 Дано:

$t = 200$ с

$T = 2$ с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$N$ - ?

$\nu$ - ?

Решение:

Число колебаний ($N$) найдем из формулы для периода:

$T = \frac{t}{N} \implies N = \frac{t}{T}$

Подставим известные значения:

$N = \frac{200 \text{ с}}{2 \text{ с}} = 100$

Частоту колебаний ($\nu$) найдем как величину, обратную периоду:

$\nu = \frac{1}{T}$

Подставим известное значение периода:

$\nu = \frac{1}{2 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Ответ: $N = 100$, $\nu = 0.5$ Гц.

551. Периоды колебаний двух математических маятников относятся как 3 : 2. Определите, во сколько раз первый маятник длиннее второго.

Дано:

Отношение периодов колебаний двух математических маятников: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2}$

Найти:

Отношение длин маятников $\frac{l_1}{l_2}$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $T$ — период колебаний, $l$ — длина нити маятника, $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем выражения для периодов первого ($T_1$) и второго ($T_2$) маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Чтобы найти соотношение между их длинами, составим отношение периодов, разделив первое выражение на второе:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}$

Сократив одинаковые множители ($2\pi$ и $\sqrt{g}$), получим:

$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$

Чтобы выразить отношение длин $\frac{l_1}{l_2}$, возведем обе части полученного уравнения в квадрат:

$(\frac{T_1}{T_2})^2 = \frac{l_1}{l_2}$

Теперь подставим в эту формулу числовое значение отношения периодов, данное в условии задачи:

$\frac{l_1}{l_2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} = 2.25$

Следовательно, длина первого маятника в 2,25 раза больше длины второго маятника.

Ответ: первый маятник длиннее второго в 2,25 раза.

552. Длины математических маятников относятся как $16:1$. Как относятся частоты колебаний этих маятников?

Дано:

Отношение длин математических маятников: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{16}{1}$

Найти:

Отношение частот колебаний этих маятников: $\frac{\nu_1}{\nu_2}$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Частота колебаний $\nu$ — это величина, обратная периоду $T$:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Из этой формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из длины маятника: $\nu \sim \frac{1}{\sqrt{l}}$.

Запишем выражения для частот первого ($\nu_1$) и второго ($\nu_2$) маятников:

$\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}$

Чтобы найти отношение частот, разделим первое выражение на второе:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}}$

Сократим одинаковые множители $\frac{1}{2\pi}$ и $\sqrt{g}$:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\sqrt{\frac{1}{l_1}}}{\sqrt{\frac{1}{l_2}}} = \sqrt{\frac{1/l_1}{1/l_2}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Нам дано, что $\frac{l_1}{l_2} = 16$. Тогда обратное отношение $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{16}$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

Следовательно, частоты относятся как 1 к 4.

Ответ: Отношение частот колебаний этих маятников составляет 1 : 4.