Страница 81 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

533. По графику колебаний (рис. 111) определите начальное смещение тела, амплитуду и период колебаний. Напишите уравнение зависимости $x(t)$.

Рис. 111

Дано:

Из графика колебаний (рис. 111) имеем:

Максимальное смещение $x_{max} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Минимальное смещение $x_{min} = -4 \text{ см} = -0.04 \text{ м}$

Начальное смещение (при $t=0$) $x_0 = -4 \text{ см} = -0.04 \text{ м}$

Время, соответствующее одному полному колебанию, $T = 8 \text{ с}$

Найти:

1. Начальное смещение $x_0$.

2. Амплитуду $A$.

3. Период $T$.

4. Уравнение зависимости $x(t)$.

Решение:

Начальное смещение, амплитуда и период колебаний

Анализируя представленный график зависимости смещения $x$ от времени $t$:

1. Начальное смещение ($x_0$) — это значение координаты $x$ в момент времени $t=0$. Из графика видно, что при $t=0$ с, $x = -4$ см.

2. Амплитуда ($A$) — это модуль максимального отклонения тела от положения равновесия ($x=0$). По графику максимальное отклонение составляет 4 см, поэтому амплитуда $A = 4$ см.

3. Период ($T$) — это минимальный промежуток времени, через который движение тела полностью повторяется. На графике видно, что тело начинает движение из точки с минимальной координатой $x = -4$ см в момент $t=0$ с и возвращается в эту же точку с той же скоростью в момент $t=8$ с. Следовательно, период колебаний $T = 8$ с.

Ответ: Начальное смещение $x_0 = -4$ см; амплитуда $A = 4$ см; период $T = 8$ с.

Уравнение зависимости x(t)

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\varphi_0$ — начальная фаза.

Из предыдущего пункта мы знаем, что амплитуда $A = 4$ см и период $T = 8$ с.

Вычислим циклическую частоту $\omega$ по формуле:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим значение периода:

$\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ рад/с

Теперь уравнение принимает вид: $x(t) = 4 \cos(\frac{\pi}{4} t + \varphi_0)$.

Для определения начальной фазы $\varphi_0$ воспользуемся начальным условием: в момент времени $t = 0$ с, смещение $x(0) = -4$ см.

Подставим эти значения в уравнение:

$-4 = 4 \cos(\frac{\pi}{4} \cdot 0 + \varphi_0)$

$-4 = 4 \cos(\varphi_0)$

$\cos(\varphi_0) = -1$

Простейшим решением этого уравнения является $\varphi_0 = \pi$ рад.

Таким образом, искомое уравнение зависимости смещения от времени, где $x$ выражено в сантиметрах, а $t$ — в секундах, имеет вид:

$x(t) = 4 \cos(\frac{\pi}{4}t + \pi)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, уравнение можно также записать в более простой форме:

$x(t) = -4 \cos(\frac{\pi}{4}t)$

Ответ: $x(t) = 4 \cos(\frac{\pi}{4}t + \pi)$, где $x$ измеряется в см, $t$ - в с.

534. Рассчитайте период колебаний математического маятника, длина нити которого равна 2,5 м.

Дано:

$l = 2,5$ м

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $T$ – период колебаний, $l$ – длина нити маятника, $g$ – ускорение свободного падения. В качестве значения числа $\pi$ возьмем $\pi \approx 3,14$.

Подставим числовые значения в формулу:

$T = 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{2,5 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,2551 \text{ с}^2} \approx 6,28 \cdot 0,505 \text{ с} \approx 3,1714$ с.

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименьшей точностью исходных данных), получаем:

$T \approx 3,2$ с.

Ответ: период колебаний математического маятника равен примерно $3,2$ с.

535. Металлический брусок массой 125 г совершает колебания на пружине жёсткостью 50 Н/м. Чему равен период колебаний бруска?

Дано:

Масса бруска, $m = 125$ г
Жёсткость пружины, $k = 50$ Н/м

Перевод в систему СИ:
$m = 125$ г $= 0.125$ кг

Найти:

Период колебаний, $T$ - ?

Решение:

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника вычисляется по формуле:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ – масса колеблющегося тела, а $k$ – жёсткость пружины.

Подставим числовые значения в формулу, предварительно переведя массу в килограммы:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.125 \text{ кг}}{50 \text{ Н/м}}} = 2\pi \sqrt{0.0025 \text{ с}^2}$

$T = 2\pi \cdot 0.05 \text{ с} = 0.1\pi \text{ с}$

Для получения числового ответа, используем приближённое значение $\pi \approx 3.14$:

$T \approx 0.1 \cdot 3.14 \text{ с} = 0.314 \text{ с}$

Ответ: период колебаний бруска равен $0.1\pi$ с, что приблизительно составляет $0.314$ с.

536. Как изменится частота колебаний математического маятника, если длину его нити увеличить в 9 раз; уменьшить в 25 раз?

Для решения задачи используется формула частоты колебаний математического маятника:

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

где $\nu$ – частота колебаний, $g$ – ускорение свободного падения, а $l$ – длина нити маятника.

Из данной формулы следует, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из длины нити ($\nu \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$).

увеличить в 9 раз

Дано:

Начальная длина нити: $l_1$

Новая длина нити: $l_2 = 9l_1$

Найти:

Отношение новой частоты к начальной $\frac{\nu_2}{\nu_1}$.

Решение:

Начальная частота колебаний маятника: $\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$.

Новая частота колебаний после увеличения длины нити: $\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_2}}$.

Подставим в формулу для новой частоты значение $l_2 = 9l_1$:

$\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{9l_1}} = \frac{1}{\sqrt{9}} \cdot \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}} = \frac{1}{3}\nu_1$

Таким образом, новая частота $\nu_2$ в 3 раза меньше начальной частоты $\nu_1$.

Ответ: частота колебаний уменьшится в 3 раза.

уменьшить в 25 раз

Дано:

Начальная длина нити: $l_1$

Новая длина нити: $l_3 = \frac{l_1}{25}$

Найти:

Отношение новой частоты к начальной $\frac{\nu_3}{\nu_1}$.

Решение:

Начальная частота колебаний маятника: $\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}}$.

Новая частота колебаний после уменьшения длины нити: $\nu_3 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_3}}$.

Подставим в формулу для новой частоты значение $l_3 = \frac{l_1}{25}$:

$\nu_3 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1/25}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{25g}{l_1}} = \sqrt{25} \cdot \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l_1}} = 5\nu_1$

Таким образом, новая частота $\nu_3$ в 5 раз больше начальной частоты $\nu_1$.

Ответ: частота колебаний увеличится в 5 раз.

537. На пружине жёсткостью 200 Н/м совершает колебания груз массой 0,5 кг. Найдите период и частоту колебаний этого груза. Чему будут равны период и частота колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей; в 4 раза меньшей?

Дано:

Жёсткость пружины, $k_1 = 200$ Н/м
Масса груза, $m = 0,5$ кг

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Период $T_1$ и частоту $\nu_1$ колебаний.
2. Период $T_2$ и частоту $\nu_2$ при жёсткости $k_2 = 4k_1$.
3. Период $T_3$ и частоту $\nu_3$ при жёсткости $k_3 = k_1/4$.

Решение:

Найдём период и частоту колебаний груза для начальных условий

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Подставим начальные значения массы $m$ и жёсткости $k_1$:
$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0,5 \text{ кг}}{200 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{400}} = 2\pi \cdot \frac{1}{20} = \frac{\pi}{10} \text{ c} \approx 0,314 \text{ c}$
Частота колебаний $\nu$ связана с периодом $T$ соотношением:
$\nu = \frac{1}{T}$
Тогда начальная частота равна:
$\nu_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{\pi/10} = \frac{10}{\pi} \text{ Гц} \approx 3,18 \text{ Гц}$

Ответ: Период колебаний $T_1 \approx 0,314$ с, частота колебаний $\nu_1 \approx 3,18$ Гц.

Найдём период и частоту колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей

Новая жёсткость пружины $k_2 = 4k_1 = 4 \cdot 200 \text{ Н/м} = 800 \text{ Н/м}$.
Рассчитаем новый период колебаний $T_2$:
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = \frac{1}{2} T_1$
$T_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{10} \text{ c} = \frac{\pi}{20} \text{ c} \approx 0,157 \text{ c}$
Новая частота колебаний $\nu_2$ будет равна:
$\nu_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1/2} = 2 \cdot \frac{1}{T_1} = 2\nu_1$
$\nu_2 = 2 \cdot \frac{10}{\pi} \text{ Гц} = \frac{20}{\pi} \text{ Гц} \approx 6,36 \text{ Гц}$

Ответ: Период уменьшится в 2 раза и станет равен $T_2 \approx 0,157$ с, а частота увеличится в 2 раза и станет равна $\nu_2 \approx 6,36$ Гц.

Найдём период и частоту колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза меньшей

Новая жёсткость пружины $k_3 = k_1/4 = 200/4 \text{ Н/м} = 50 \text{ Н/м}$.
Рассчитаем новый период колебаний $T_3$:
$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_3}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1/4}} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2T_1$
$T_3 = 2 \cdot \frac{\pi}{10} \text{ c} = \frac{\pi}{5} \text{ c} \approx 0,628 \text{ c}$
Новая частота колебаний $\nu_3$ будет равна:
$\nu_3 = \frac{1}{T_3} = \frac{1}{2T_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{T_1} = \frac{\nu_1}{2}$
$\nu_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{\pi} \text{ Гц} = \frac{5}{\pi} \text{ Гц} \approx 1,59 \text{ Гц}$

Ответ: Период увеличится в 2 раза и станет равен $T_3 \approx 0,628$ с, а частота уменьшится в 2 раза и станет равна $\nu_3 \approx 1,59$ Гц.

538. Изменится ли частота колебаний тела, подвешенного на пружине, при увеличении массы тела в 4 раза; в 9 раз?

Дано:

1) $m_2 = 4m_1$

2) $m_3 = 9m_1$

Найти:

Как изменится частота колебаний $\nu$ в каждом случае?

Решение:

Частота собственных колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинного маятника), определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\nu$ — частота колебаний, $T$ — период колебаний, $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса тела.Из этой формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из массы тела:

$\nu \sim \frac{1}{\sqrt{m}}$

Это означает, что при увеличении массы тела частота его колебаний будет уменьшаться. Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

при увеличении массы тела в 4 раза

Пусть начальная масса тела равна $m_1$, а начальная частота — $\nu_1$. Новая масса тела $m_2 = 4m_1$. Найдем отношение новой частоты $\nu_2$ к начальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{4m_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, новая частота $\nu_2 = \frac{1}{2}\nu_1$. Частота колебаний уменьшится в 2 раза.

Ответ: частота уменьшится в 2 раза.

при увеличении массы тела в 9 раз

Пусть начальная масса тела равна $m_1$, а начальная частота — $\nu_1$. Новая масса тела $m_3 = 9m_1$. Найдем отношение новой частоты $\nu_3$ к начальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_3}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_3}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_3}} = \sqrt{\frac{m_1}{9m_1}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, новая частота $\nu_3 = \frac{1}{3}\nu_1$. Частота колебаний уменьшится в 3 раза.

Ответ: частота уменьшится в 3 раза.

539. Как изменится период колебаний математического маятника, если его перенести с Земли на Луну? Ускорение свободного падения на Луне равно 1,6 м/с².

Дано:

$g_Л = 1,6 \text{ м/с²}$ (ускорение свободного падения на Луне)

$g_З \approx 9,8 \text{ м/с²}$ (ускорение свободного падения на Земле)

Найти:

$\frac{T_Л}{T_З}$ — отношение периода колебаний маятника на Луне к периоду на Земле.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — это длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

При переносе маятника с Земли на Луну его длина $l$ не изменяется, а ускорение свободного падения меняется.

Запишем формулу для периода колебаний маятника на Земле:

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

Запишем формулу для периода колебаний того же маятника на Луне:

$T_Л = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}$

Чтобы найти, как изменится период, найдем отношение периода на Луне к периоду на Земле. Для этого разделим второе выражение на первое:

$\frac{T_Л}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}}$

После сокращения одинаковых множителей $2\pi$ и $\sqrt{l}$ получим:

$\frac{T_Л}{T_З} = \frac{\sqrt{1/g_Л}}{\sqrt{1/g_З}} = \sqrt{\frac{1}{g_Л} \cdot \frac{g_З}{1}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_Л}}$

Из полученной зависимости видно, что период колебаний обратно пропорционален квадратному корню из ускорения свободного падения. Поскольку ускорение свободного падения на Луне меньше, чем на Земле ($g_Л < g_З$), период колебаний маятника на Луне будет больше. Это означает, что маятник на Луне будет колебаться медленнее.

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$\frac{T_Л}{T_З} = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с²}}{1,6 \text{ м/с²}}} = \sqrt{6,125} \approx 2,475$

Следовательно, период колебаний маятника на Луне будет больше, чем на Земле, примерно в 2,5 раза.

Ответ:

При переносе математического маятника с Земли на Луну его период колебаний увеличится примерно в 2,5 раза.

540. Период колебаний математического маятника равен 1 с. Найдите длину этого маятника.

Дано

Период колебаний математического маятника $T = 1 \text{ с}$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Длину маятника $l$.

Решение

Для определения длины математического маятника воспользуемся формулой периода его колебаний (формулой Гюйгенса): $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
где $T$ — период колебаний, $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения.

Чтобы найти длину $l$, необходимо выразить ее из данной формулы. Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: $T^2 = \left(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\right)^2$
$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g}$

Теперь из полученного равенства выразим искомую длину $l$: $l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Подставим известные значения в формулу. Используем $T = 1 \text{ с}$, стандартное значение $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ и $\pi \approx 3.14$. $l = \frac{(1 \text{ с})^2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot (3.14)^2} \approx \frac{9.8}{4 \cdot 9.8596} \text{ м} \approx \frac{9.8}{39.4384} \text{ м} \approx 0.2485 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем $l \approx 0.25 \text{ м}$.

Примечание: Часто в учебных задачах для упрощения расчетов принимают $g \approx \pi^2 \approx 9.87 \text{ м/с}^2$. В этом случае вычисления значительно упрощаются: $l = \frac{T^2 g}{4\pi^2} = \frac{1^2 \cdot \pi^2}{4\pi^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ м}$
Как видим, результат совпадает.

Ответ: длина этого маятника составляет примерно $0.25$ м (или $25$ см).

541. Маятник Фуко, много лет висевший в Исаакиевском соборе в Санкт-Петербурге, совершал 3 колебания за 1 мин. Какова была длина маятника?

Дано:

Число колебаний, $N = 3$
Время колебаний, $t = 1 \text{ мин}$
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Переведем время в систему СИ:
$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Длину маятника $L$.

Решение:

1. Сначала определим период колебаний маятника. Период $T$ – это время одного полного колебания. Он рассчитывается как отношение общего времени колебаний $t$ к числу совершенных колебаний $N$.

$T = \frac{t}{N} = \frac{60 \text{ с}}{3} = 20 \text{ с}$

2. Период колебаний математического маятника (которым в данном случае можно считать маятник Фуко) определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

где $L$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

3. Чтобы найти длину маятника $L$, выразим ее из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{L}{g} = 4\pi^2 \frac{L}{g}$

Отсюда выражаем $L$:

$L = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

4. Теперь подставим известные значения в формулу. Используем $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$ и $\pi \approx 3.14$.

$L = \frac{(20 \text{ с})^2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot (3.14)^2} = \frac{400 \cdot 9.8}{4 \cdot 9.8596} = \frac{3920}{39.4384} \approx 99.4 \text{ м}$

Стоит отметить, что исторически длина маятника Фуко в Исаакиевском соборе составляла 98 метров. Такой ответ получается, если в расчетах использовать распространенное в школьных задачах допущение $\pi^2 \approx 10$:

$L = \frac{T^2 g}{4\pi^2} \approx \frac{400 \cdot 9.8}{4 \cdot 10} = \frac{3920}{40} = 98 \text{ м}$

Это совпадение говорит о том, что, скорее всего, авторы задачи подразумевали именно такое упрощение для получения "красивого" ответа.

Ответ: 98 м.

542. Груз, подвешенный на пружине, совершает 300 колебаний за 1 мин. Рассчитайте жёсткость пружины, если масса груза равна 100 г.

Дано:

Число колебаний $N = 300$

Время колебаний $t = 1$ мин

Масса груза $m = 100$ г

Перевод в систему СИ:

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Жёсткость пружины $k$

Решение:

Для решения задачи сначала найдём период колебаний груза. Период $T$ — это время одного полного колебания. Он вычисляется как отношение общего времени колебаний $t$ к числу совершённых за это время колебаний $N$.

$T = \frac{t}{N}$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$T = \frac{60 \text{ с}}{300} = 0.2 \text{ с}$

Период колебаний пружинного маятника связан с массой груза $m$ и жёсткостью пружины $k$ следующей формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Чтобы найти жёсткость пружины $k$, нам необходимо выразить её из этой формулы. Для этого сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{m}{k} = \frac{4\pi^2m}{k}$

Теперь выразим $k$:

$k = \frac{4\pi^2m}{T^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу и выполним расчёт. Примем значение $\pi \approx 3.1416$.

$k = \frac{4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 0.1 \text{ кг}}{(0.2 \text{ с})^2} = \frac{4 \cdot 9.8696 \cdot 0.1}{0.04} \text{ Н/м} = \frac{3.94784}{0.04} \text{ Н/м} \approx 98.7 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость пружины составляет примерно $98.7 \text{ Н/м}$.