Номер 537, страница 81 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания. Механические колебания и волны. Звук - номер 537, страница 81.

537. На пружине жёсткостью 200 Н/м совершает колебания груз массой 0,5 кг. Найдите период и частоту колебаний этого груза. Чему будут равны период и частота колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей; в 4 раза меньшей?

Дано:

Жёсткость пружины, $k_1 = 200$ Н/м
Масса груза, $m = 0,5$ кг

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

1. Период $T_1$ и частоту $\nu_1$ колебаний.
2. Период $T_2$ и частоту $\nu_2$ при жёсткости $k_2 = 4k_1$.
3. Период $T_3$ и частоту $\nu_3$ при жёсткости $k_3 = k_1/4$.

Решение:

Найдём период и частоту колебаний груза для начальных условий

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$
Подставим начальные значения массы $m$ и жёсткости $k_1$:
$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0,5 \text{ кг}}{200 \text{ Н/м}}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{400}} = 2\pi \cdot \frac{1}{20} = \frac{\pi}{10} \text{ c} \approx 0,314 \text{ c}$
Частота колебаний $\nu$ связана с периодом $T$ соотношением:
$\nu = \frac{1}{T}$
Тогда начальная частота равна:
$\nu_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{\pi/10} = \frac{10}{\pi} \text{ Гц} \approx 3,18 \text{ Гц}$

Ответ: Период колебаний $T_1 \approx 0,314$ с, частота колебаний $\nu_1 \approx 3,18$ Гц.

Найдём период и частоту колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза большей

Новая жёсткость пружины $k_2 = 4k_1 = 4 \cdot 200 \text{ Н/м} = 800 \text{ Н/м}$.
Рассчитаем новый период колебаний $T_2$:
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = \frac{1}{2} T_1$
$T_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{10} \text{ c} = \frac{\pi}{20} \text{ c} \approx 0,157 \text{ c}$
Новая частота колебаний $\nu_2$ будет равна:
$\nu_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1/2} = 2 \cdot \frac{1}{T_1} = 2\nu_1$
$\nu_2 = 2 \cdot \frac{10}{\pi} \text{ Гц} = \frac{20}{\pi} \text{ Гц} \approx 6,36 \text{ Гц}$

Ответ: Период уменьшится в 2 раза и станет равен $T_2 \approx 0,157$ с, а частота увеличится в 2 раза и станет равна $\nu_2 \approx 6,36$ Гц.

Найдём период и частоту колебаний, если взять пружину жёсткостью в 4 раза меньшей

Новая жёсткость пружины $k_3 = k_1/4 = 200/4 \text{ Н/м} = 50 \text{ Н/м}$.
Рассчитаем новый период колебаний $T_3$:
$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_3}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1/4}} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}} = 2T_1$
$T_3 = 2 \cdot \frac{\pi}{10} \text{ c} = \frac{\pi}{5} \text{ c} \approx 0,628 \text{ c}$
Новая частота колебаний $\nu_3$ будет равна:
$\nu_3 = \frac{1}{T_3} = \frac{1}{2T_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{T_1} = \frac{\nu_1}{2}$
$\nu_3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{\pi} \text{ Гц} = \frac{5}{\pi} \text{ Гц} \approx 1,59 \text{ Гц}$

Ответ: Период увеличится в 2 раза и станет равен $T_3 \approx 0,628$ с, а частота уменьшится в 2 раза и станет равна $\nu_3 \approx 1,59$ Гц.