Номер 533, страница 81 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 533, страница 81.

Условие.

533. По графику колебаний (рис. 111) определите начальное смещение тела, амплитуду и период колебаний. Напишите уравнение зависимости $x(t)$.

Рис. 111

Решение.

Дано:

Из графика колебаний (рис. 111) имеем:

Максимальное смещение $x_{max} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Минимальное смещение $x_{min} = -4 \text{ см} = -0.04 \text{ м}$

Начальное смещение (при $t=0$) $x_0 = -4 \text{ см} = -0.04 \text{ м}$

Время, соответствующее одному полному колебанию, $T = 8 \text{ с}$

Найти:

1. Начальное смещение $x_0$.

2. Амплитуду $A$.

3. Период $T$.

4. Уравнение зависимости $x(t)$.

Решение:

Начальное смещение, амплитуда и период колебаний

Анализируя представленный график зависимости смещения $x$ от времени $t$:

1. Начальное смещение ($x_0$) — это значение координаты $x$ в момент времени $t=0$. Из графика видно, что при $t=0$ с, $x = -4$ см.

2. Амплитуда ($A$) — это модуль максимального отклонения тела от положения равновесия ($x=0$). По графику максимальное отклонение составляет 4 см, поэтому амплитуда $A = 4$ см.

3. Период ($T$) — это минимальный промежуток времени, через который движение тела полностью повторяется. На графике видно, что тело начинает движение из точки с минимальной координатой $x = -4$ см в момент $t=0$ с и возвращается в эту же точку с той же скоростью в момент $t=8$ с. Следовательно, период колебаний $T = 8$ с.

Ответ: Начальное смещение $x_0 = -4$ см; амплитуда $A = 4$ см; период $T = 8$ с.

Уравнение зависимости x(t)

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, а $\varphi_0$ — начальная фаза.

Из предыдущего пункта мы знаем, что амплитуда $A = 4$ см и период $T = 8$ с.

Вычислим циклическую частоту $\omega$ по формуле:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим значение периода:

$\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ рад/с

Теперь уравнение принимает вид: $x(t) = 4 \cos(\frac{\pi}{4} t + \varphi_0)$.

Для определения начальной фазы $\varphi_0$ воспользуемся начальным условием: в момент времени $t = 0$ с, смещение $x(0) = -4$ см.

Подставим эти значения в уравнение:

$-4 = 4 \cos(\frac{\pi}{4} \cdot 0 + \varphi_0)$

$-4 = 4 \cos(\varphi_0)$

$\cos(\varphi_0) = -1$

Простейшим решением этого уравнения является $\varphi_0 = \pi$ рад.

Таким образом, искомое уравнение зависимости смещения от времени, где $x$ выражено в сантиметрах, а $t$ — в секундах, имеет вид:

$x(t) = 4 \cos(\frac{\pi}{4}t + \pi)$

Используя тригонометрическую формулу приведения $\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)$, уравнение можно также записать в более простой форме:

$x(t) = -4 \cos(\frac{\pi}{4}t)$

Ответ: $x(t) = 4 \cos(\frac{\pi}{4}t + \pi)$, где $x$ измеряется в см, $t$ - в с.