Номер 538, страница 81 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 538, страница 81.

Условие.

538. Изменится ли частота колебаний тела, подвешенного на пружине, при увеличении массы тела в 4 раза; в 9 раз?

Решение.

Дано:

1) $m_2 = 4m_1$

2) $m_3 = 9m_1$

Найти:

Как изменится частота колебаний $\nu$ в каждом случае?

Решение:

Частота собственных колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинного маятника), определяется по формуле Томсона:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $\nu$ — частота колебаний, $T$ — период колебаний, $k$ — жесткость пружины, а $m$ — масса тела.Из этой формулы видно, что частота колебаний обратно пропорциональна квадратному корню из массы тела:

$\nu \sim \frac{1}{\sqrt{m}}$

Это означает, что при увеличении массы тела частота его колебаний будет уменьшаться. Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

при увеличении массы тела в 4 раза

Пусть начальная масса тела равна $m_1$, а начальная частота — $\nu_1$. Новая масса тела $m_2 = 4m_1$. Найдем отношение новой частоты $\nu_2$ к начальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{4m_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, новая частота $\nu_2 = \frac{1}{2}\nu_1$. Частота колебаний уменьшится в 2 раза.

Ответ: частота уменьшится в 2 раза.

при увеличении массы тела в 9 раз

Пусть начальная масса тела равна $m_1$, а начальная частота — $\nu_1$. Новая масса тела $m_3 = 9m_1$. Найдем отношение новой частоты $\nu_3$ к начальной $\nu_1$:

$\frac{\nu_3}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_3}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_3}} = \sqrt{\frac{m_1}{9m_1}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

Таким образом, новая частота $\nu_3 = \frac{1}{3}\nu_1$. Частота колебаний уменьшится в 3 раза.

Ответ: частота уменьшится в 3 раза.