Страница 83 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

553. Алюминиевый шар, закреплённый на пружине, совершает колебания с периодом 2 с. Каким будет период колебаний, если алюминиевый шар заменить медным такого же объёма?

Дано:

Период колебаний алюминиевого шара, $T_{Al} = 2$ с

Объем алюминиевого шара, $V_{Al}$

Объем медного шара, $V_{Cu}$

$V_{Al} = V_{Cu} = V$

Плотность алюминия, $\rho_{Al} = 2700$ кг/м³

Плотность меди, $\rho_{Cu} = 8900$ кг/м³

Найти:

Период колебаний медного шара, $T_{Cu}$ — ?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса тела, а $k$ — жёсткость пружины.

Для алюминиевого шара период колебаний записывается как:

$T_{Al} = 2\pi\sqrt{\frac{m_{Al}}{k}}$

Для медного шара, закреплённого на той же пружине (жёсткость $k$ не меняется), период будет:

$T_{Cu} = 2\pi\sqrt{\frac{m_{Cu}}{k}}$

Чтобы найти соотношение между периодами, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T_{Cu}}{T_{Al}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_{Cu}}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_{Al}}{k}}} = \sqrt{\frac{m_{Cu}}{m_{Al}}}$

Масса тела связана с его плотностью $\rho$ и объёмом $V$ соотношением $m = \rho V$. Поскольку объёмы шаров по условию одинаковы ($V_{Al} = V_{Cu} = V$), мы можем записать:

$m_{Al} = \rho_{Al} V$

$m_{Cu} = \rho_{Cu} V$

Подставим эти выражения в соотношение периодов:

$\frac{T_{Cu}}{T_{Al}} = \sqrt{\frac{\rho_{Cu} V}{\rho_{Al} V}} = \sqrt{\frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}}}$

Теперь выразим искомый период $T_{Cu}$:

$T_{Cu} = T_{Al} \sqrt{\frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}}}$

Плотности алюминия и меди являются справочными величинами. Подставим все известные значения в формулу:

$T_{Cu} = 2 \text{ с} \cdot \sqrt{\frac{8900 \text{ кг/м³}}{2700 \text{ кг/м³}}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{89}{27}} \approx 2 \cdot \sqrt{3.296} \approx 2 \cdot 1.815 \approx 3.63$ с

Ответ: период колебаний медного шара составит приблизительно $3.63$ с.

554. Чему равна первоначальная длина математического маятника, если при увеличении его длины на 30 см период колебаний маятника увеличивается в 2 раза?

Дано:

$\Delta l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$\frac{T_2}{T_1} = 2$

Найти:

$l_1$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $T$ — период колебаний, $l$ — длина маятника, $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулу для начального состояния маятника (с длиной $l_1$ и периодом $T_1$):

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

И для конечного состояния (с длиной $l_2$ и периодом $T_2$):

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

По условию задачи, длина маятника увеличилась на $\Delta l$, а период увеличился в 2 раза. Таким образом:

$l_2 = l_1 + \Delta l$

$T_2 = 2 \cdot T_1$

Найдем отношение периодов $T_2$ и $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Подставим в это соотношение известные из условия данные:

$2 = \sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{l_1}}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{l_1}}\right)^2$

$4 = \frac{l_1 + \Delta l}{l_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $l_1$:

$4l_1 = l_1 + \Delta l$

$4l_1 - l_1 = \Delta l$

$3l_1 = \Delta l$

$l_1 = \frac{\Delta l}{3}$

Подставим числовое значение $\Delta l$ из условия, переведенное в систему СИ:

$l_1 = \frac{0.3 \text{ м}}{3} = 0.1 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для удобства: $0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$.

Ответ: первоначальная длина математического маятника равна $0.1$ м или $10$ см.

555. Груз массой 0,3 кг совершает колебания на пружине жёсткостью $30 \text{ Н/м}$. Рассчитайте наибольшую скорость и полную энергию груза при колебаниях, если амплитуда колебаний равна 0,1 м.

Дано:

Масса груза, $m = 0,3$ кг
Жёсткость пружины, $k = 30$ Н/м
Амплитуда колебаний, $A = 0,1$ м

Найти:

Наибольшая скорость, $v_{max}$ - ?
Полная энергия, $E_{полная}$ - ?

Решение:

Полная механическая энергия $E_{полная}$ колеблющегося груза в идеальной системе (без трения) сохраняется. Она состоит из кинетической энергии движения $E_к$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_п$.

$E_{полная} = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Сначала рассчитаем полную энергию. В крайних точках траектории, когда смещение от положения равновесия максимально и равно амплитуде ($x = A$), скорость груза мгновенно становится равной нулю ($v=0$). В этот момент вся энергия системы является потенциальной. Таким образом, полную энергию можно найти как максимальную потенциальную энергию:

$E_{полная} = E_{п.макс} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$E_{полная} = \frac{30 \text{ Н/м} \cdot (0,1 \text{ м})^2}{2} = \frac{30 \cdot 0,01}{2} = 0,15 \text{ Дж}$

Теперь рассчитаем наибольшую скорость. Груз достигает наибольшей скорости $v_{max}$ в момент прохождения положения равновесия ($x=0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся энергия системы является кинетической. Следовательно, полная энергия равна максимальной кинетической энергии:

$E_{полная} = E_{к.макс} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Выразим из этой формулы наибольшую скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2E_{полная}}{m}}$

Подставим ранее найденное значение полной энергии и массу груза:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,15 \text{ Дж}}{0,3 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0,3}{0,3}} = \sqrt{1} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: наибольшая скорость груза составляет $1$ м/с, а полная энергия при колебаниях равна $0,15$ Дж.

556. Частица массой 0,01 г совершает колебания с частотой 500 Гц и амплитудой 2 мм. Определите: а) кинетическую энергию частицы при прохождении ею положения равновесия; б) потенциальную энергию частицы при смещении, равном амплитуде; в) полную энергию колеблющейся частицы.

Дано:

$m = 0,01 \text{ г} = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 10^{-5} \text{ кг}$

$\nu = 500 \text{ Гц}$

$A = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

а) $E_{к,\text{max}}$ - кинетическую энергию в положении равновесия

б) $E_{п,\text{max}}$ - потенциальную энергию при смещении, равном амплитуде

в) $E$ - полную энергию

Решение:

а) кинетическую энергию частицы при прохождении ею положения равновесия

При прохождении частицей положения равновесия ($x=0$) ее скорость максимальна ($v = v_{\text{max}}$), а потенциальная энергия равна нулю ($E_п = 0$). Следовательно, кинетическая энергия в этот момент максимальна и равна полной энергии колебаний.

Максимальная скорость частицы при гармонических колебаниях определяется формулой:

$v_{\text{max}} = A \cdot \omega$

где $A$ — амплитуда, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота. Циклическая частота связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим значения:

$\omega = 2\pi \cdot 500 \text{ Гц} = 1000\pi \text{ рад/с}$

Теперь найдем максимальную кинетическую энергию:

$E_{к,\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = \frac{m (A\omega)^2}{2} = \frac{1}{2} m A^2 (2\pi\nu)^2 = 2 m A^2 \pi^2 \nu^2$

Выполним вычисления:

$E_{к,\text{max}} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ кг} \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \cdot \pi^2 \cdot (500 \text{ Гц})^2 = 2 \cdot 10^{-5} \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot \pi^2 \cdot 25 \cdot 10^4 = 200 \cdot 10^{-7} \pi^2 \text{ Дж} = 2 \cdot 10^{-5} \pi^2 \text{ Дж}$

Приближенно, считая $\pi^2 \approx 9,87$:

$E_{к,\text{max}} \approx 2 \cdot 10^{-5} \cdot 9,87 \text{ Дж} \approx 19,74 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_{к,\text{max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

б) потенциальную энергию частицы при смещении, равном амплитуде

При максимальном смещении от положения равновесия ($x = A$), скорость частицы становится равной нулю ($v = 0$), а ее потенциальная энергия достигает максимального значения. В этот момент кинетическая энергия равна нулю ($E_к = 0$).

По закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической энергии, а также полной энергии системы.

$E_{п,\text{max}} = E_{к,\text{max}} = E$

Таким образом, потенциальная энергия частицы при смещении, равном амплитуде, равна значению, вычисленному в пункте а).

$E_{п,\text{max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_{п,\text{max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

в) полную энергию колеблющейся частицы

Полная механическая энергия колеблющейся частицы в любой момент времени является суммой ее кинетической и потенциальной энергий и остается постоянной (при отсутствии трения):

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Полная энергия равна максимальному значению кинетической энергии (когда потенциальная энергия равна нулю) и максимальному значению потенциальной энергии (когда кинетическая энергия равна нулю).

$E = E_{к,\text{max}} = E_{п,\text{max}}$

Следовательно, полная энергия колеблющейся частицы равна значениям, найденным в пунктах а) и б).

$E = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

557. В 1750 г. близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шёл в ногу отряд солдат (487 человек). При прохождении отряда мост стал раскачиваться. Размах колебаний увеличился настолько, что цепи оборвались и мост с солдатами обрушился. Погибло 226 человек. Какова причина этой катастрофы?

Решение

Причиной этой катастрофы является физическое явление, называемое механическим резонансом.

Любой мост, как и любое другое физическое тело, является колебательной системой и имеет свою собственную, или естественную, частоту колебаний ($f_0$). Это частота, с которой мост будет качаться, если его вывести из положения равновесия.

Отряд солдат, который шёл «в ногу», создавал периодическую внешнюю (вынуждающую) силу, действующую на мост. Частота этой силы ($f$) была равна частоте шагов солдат (каденсу).

По всей видимости, частота шагов солдат случайно совпала с собственной частотой колебаний моста: $f \approx f_0$. Когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы, возникает явление резонанса.

При резонансе происходит резкое увеличение амплитуды (размаха) вынужденных колебаний. Мост начал эффективно поглощать энергию от шагов солдат, и его раскачивание стало стремительно нарастать.

Когда амплитуда колебаний достигла критического значения, механическое напряжение в несущих элементах моста, его цепях, превысило предел прочности материала. В результате цепи не выдержали и оборвались, что привело к обрушению моста.

Этот трагический случай является хрестоматийным примером разрушительной силы резонанса. Именно после подобных инцидентов в воинские уставы было введено правило, требующее от солдат при прохождении по мостам сбивать шаг (идти не в ногу), чтобы не создавать ритмичной нагрузки и избежать риска возникновения резонанса.

Ответ: Причиной катастрофы стало явление механического резонанса, которое возникло из-за совпадения частоты шагов марширующих в ногу солдат с собственной частотой колебаний моста. Это привело к резкому увеличению амплитуды колебаний, из-за чего нагрузка на несущие цепи превысила их предел прочности, и мост разрушился.

558. При определённой скорости движения оконные стёкла в автобусе начинают дребезжать. Почему?

Решение

Это явление объясняется резонансом. У каждого предмета, в том числе у оконного стекла в автобусе, есть своя собственная частота колебаний. Это частота, с которой стекло будет колебаться, если его вывести из положения равновесия.

Во время движения автобуса его двигатель, колёса и другие части создают вибрацию. Эта вибрация заставляет стёкла совершать вынужденные колебания. Частота этих вынужденных колебаний зависит от скорости движения автобуса (а точнее, от частоты вращения коленчатого вала двигателя и частоты ударов колёс о неровности дороги).

Когда автобус достигает определённой скорости, частота вынужденных колебаний от двигателя и дороги совпадает с собственной частотой колебаний оконных стёкол. В этот момент наступает резонанс — резкое увеличение амплитуды колебаний. Именно это сильное колебание стекла мы воспринимаем как дребезжание. При других скоростях частоты не совпадают, и амплитуда колебаний стекла остаётся незначительной.

Ответ: При определённой скорости движения частота вынужденных колебаний, создаваемых двигателем и неровностями дороги, совпадает с собственной частотой колебаний оконных стёкол. В результате возникает явление резонанса, которое и проявляется в виде сильного дребезжания стёкол.

559. Чтобы помочь шофёру вытащить автомобиль, застрявший в грязи, несколько человек раскачивают автомобиль, причём толчки, как правило, производятся по команде. Имеет ли значение, через какие промежутки времени подавать команду?

Решение

Да, промежутки времени, через которые подается команда, имеют решающее значение. Это связано с физическим явлением, которое называется резонансом.

Автомобиль, застрявший в грязи и опирающийся на свою подвеску, представляет собой колебательную систему. Если его толкнуть, он начнет совершать затухающие колебания (качаться вперед-назад) с определенным периодом, который называется собственным периодом колебаний системы, обозначим его $T_0$. Этот период зависит от массы автомобиля, жесткости его пружин и вязкости грязи.

Чтобы максимально эффективно раскачать автомобиль, то есть увеличить амплитуду его колебаний до максимального значения, необходимо прикладывать внешнюю силу (толчки людей) в такт с его собственными колебаниями. Это означает, что период приложения силы $T$ должен быть равен собственному периоду колебаний автомобиля $T_0$.

Когда $T = T_0$, наступает резонанс. При резонансе каждый последующий толчок прикладывается в тот момент, когда он сообщает системе максимальное количество энергии, складываясь с уже идущим движением. В результате амплитуда колебаний резко возрастает. Именно это и позволяет автомобилю "выпрыгнуть" из ямы или колеи.

Если же подавать команду через случайные промежутки времени, то толчки будут несинхронными с движением автомобиля. Некоторые из них могут даже мешать раскачиванию, если будут приложены в тот момент, когда автомобиль движется навстречу толчку, то есть будут гасить колебания.

Таким образом, люди, раскачивающие автомобиль, интуитивно или сознательно подбирают такой ритм толчков, который совпадает с собственным периодом качания автомобиля, чтобы вызвать резонанс.

Ответ: Да, имеет. Чтобы максимально раскачать автомобиль, команды для толчков необходимо подавать через промежутки времени, равные периоду собственных колебаний автомобиля. Это приводит к явлению резонанса, при котором амплитуда колебаний резко возрастает, что и помогает высвободить автомобиль.

560. Если нести вёдра с водой на коромысле, то при определённом темпе ходьбы они начинают сильно раскачиваться. Чем объяснить это явление? Как уменьшить раскачивание вёдер?

Чем объяснить это явление?

Система, состоящая из коромысла и подвешенных к нему вёдер с водой, представляет собой физический маятник. Как и любая колебательная система, она имеет собственную (резонансную) частоту колебаний $f_0$. Эта частота зависит в основном от длины подвеса $l$ (расстояния от точки опоры на плече до центра масс ведра).

При ходьбе человек совершает периодические движения, которые передаются коромыслу. Эти движения являются внешней вынуждающей силой, действующей на систему с определённой частотой $f$, которая зависит от темпа ходьбы.

Когда частота вынуждающей силы $f$, создаваемой шагами, совпадает или становится очень близкой к собственной частоте колебаний системы $f_0$, возникает явление резонанса. При резонансе происходит резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний. В результате вёдра начинают сильно раскачиваться, что может привести к расплёскиванию воды.

Ответ: Это явление объясняется резонансом, который возникает, когда частота колебаний, создаваемых ходьбой человека, совпадает с собственной частотой колебаний системы «коромысло с вёдрами».

Как уменьшить раскачивание вёдер?

Чтобы уменьшить раскачивание, необходимо избежать условия резонанса, то есть сделать так, чтобы частота вынуждающей силы не совпадала с собственной частотой системы. Существует несколько способов это сделать.

Во-первых, можно изменить частоту вынуждающей силы. Самый простой способ — изменить темп ходьбы: пойти быстрее или медленнее. Это приведёт к изменению частоты $f$ и выходу из резонанса.

Во-вторых, можно изменить собственную частоту колебаний системы $f_0$. Поскольку собственная частота зависит от длины подвеса $l$, можно укоротить или удлинить его, например, взявшись за коромысло по-другому или используя вёдра с ручками другой длины.

В-третьих, можно увеличить затухание колебаний, например, придерживая коромысло или вёдра рукой. Это поможет погасить возникающие колебания за счет внешней силы.

Ответ: Чтобы уменьшить раскачивание, нужно изменить темп ходьбы (ускориться или замедлиться), изменить длину подвеса вёдер или придерживать их рукой, чтобы погасить колебания.

561. С какой целью вибрационные машины в помещениях устанавливают на специальные металлические или резиновые амортизаторы?

Вибрационные машины в процессе работы создают механические колебания. Если установить такую машину непосредственно на пол или фундамент, эти колебания будут передаваться на несущие конструкции здания. Это явление крайне нежелательно по нескольким причинам:

• Постоянные вибрационные нагрузки могут привести к усталости материалов и постепенному разрушению фундамента, стен и перекрытий здания.
• Вибрация может нарушать работу другого точного оборудования, расположенного в том же или соседних помещениях.
• Колебания, распространяясь по зданию, создают шум и дискомфорт для людей.
• Существует опасность возникновения резонанса. Если частота колебаний, создаваемых машиной, совпадет с собственной частотой колебаний какой-либо части здания (например, перекрытия), амплитуда этих колебаний резко возрастет, что может привести к быстрому разрушению конструкции.

Для борьбы с этими негативными эффектами используют специальные металлические или резиновые амортизаторы. Они представляют собой упругие элементы, которые устанавливаются между машиной и полом. Основная цель амортизаторов — поглощение и рассеивание энергии колебаний. Когда машина вибрирует, большая часть энергии уходит на упругую деформацию амортизатора, а не на колебания пола. За счет внутреннего трения в материале амортизатора (особенно в резине) механическая энергия колебаний превращается в тепловую и рассеивается. Таким образом, амортизаторы изолируют источник вибрации от остальной части здания, значительно ослабляя передаваемые колебания.

Ответ: Вибрационные машины устанавливают на амортизаторы с целью гашения (демпфирования) создаваемых ими механических колебаний, чтобы предотвратить передачу вибрации на фундамент и конструкции здания. Это защищает здание от разрушения, снижает уровень шума и предохраняет другое оборудование от вредного воздействия вибраций, а также помогает избежать явления резонанса.

562. Период собственных свободных колебаний железнодорожного вагона равен 1,25 с. На стыках рельсов вагон получает периодические удары, которые являются причиной вынужденных колебаний вагона. При какой минимальной скорости поезда возникает резонанс и пассажиры будут ощущать сильное вертикальное раскачивание вагона? Длина каждого рельса между стыками 25 м.

Дано:

Период собственных свободных колебаний вагона, $T_0 = 1,25$ с

Длина рельса, $L = 25$ м

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Минимальную скорость поезда, $v$

Решение:

Резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при совпадении частоты внешней периодической силы с частотой собственных колебаний системы. Условие резонанса можно также выразить через периоды: период вынужденных колебаний $T$ должен быть равен периоду собственных колебаний системы $T_0$.

В данной задаче вынужденные колебания вагона вызываются периодическими ударами колес на стыках рельсов. Период этих ударов (период вынужденных колебаний) — это время, за которое поезд проходит расстояние, равное длине одного рельса $L$.

Этот период $T$ можно найти по формуле, связывающей расстояние, скорость и время:

$T = \frac{L}{v}$

где $L$ — длина рельса, а $v$ — скорость поезда.

Условие возникновения резонанса, при котором пассажиры будут ощущать наиболее сильное раскачивание, имеет вид:

$T = T_0$

Подставим выражение для периода $T$ в условие резонанса:

$\frac{L}{v} = T_0$

Из этого уравнения выразим скорость поезда $v$:

$v = \frac{L}{T_0}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$v = \frac{25 \text{ м}}{1,25 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$

Это и будет минимальная скорость, при которой наступает основной (наиболее сильный) резонанс.

Для удобства можно перевести эту скорость в километры в час:

$20 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \cdot 3,6 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: минимальная скорость поезда, при которой возникает резонанс, равна 20 м/с (или 72 км/ч).