Номер 555, страница 83 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания. Механические колебания и волны. Звук - номер 555, страница 83.

555. Груз массой 0,3 кг совершает колебания на пружине жёсткостью $30 \text{ Н/м}$. Рассчитайте наибольшую скорость и полную энергию груза при колебаниях, если амплитуда колебаний равна 0,1 м.

Дано:

Масса груза, $m = 0,3$ кг
Жёсткость пружины, $k = 30$ Н/м
Амплитуда колебаний, $A = 0,1$ м

Найти:

Наибольшая скорость, $v_{max}$ - ?
Полная энергия, $E_{полная}$ - ?

Решение:

Полная механическая энергия $E_{полная}$ колеблющегося груза в идеальной системе (без трения) сохраняется. Она состоит из кинетической энергии движения $E_к$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $E_п$.

$E_{полная} = E_к + E_п = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Сначала рассчитаем полную энергию. В крайних точках траектории, когда смещение от положения равновесия максимально и равно амплитуде ($x = A$), скорость груза мгновенно становится равной нулю ($v=0$). В этот момент вся энергия системы является потенциальной. Таким образом, полную энергию можно найти как максимальную потенциальную энергию:

$E_{полная} = E_{п.макс} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$E_{полная} = \frac{30 \text{ Н/м} \cdot (0,1 \text{ м})^2}{2} = \frac{30 \cdot 0,01}{2} = 0,15 \text{ Дж}$

Теперь рассчитаем наибольшую скорость. Груз достигает наибольшей скорости $v_{max}$ в момент прохождения положения равновесия ($x=0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся энергия системы является кинетической. Следовательно, полная энергия равна максимальной кинетической энергии:

$E_{полная} = E_{к.макс} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Выразим из этой формулы наибольшую скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2E_{полная}}{m}}$

Подставим ранее найденное значение полной энергии и массу груза:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,15 \text{ Дж}}{0,3 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{0,3}{0,3}} = \sqrt{1} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: наибольшая скорость груза составляет $1$ м/с, а полная энергия при колебаниях равна $0,15$ Дж.