Номер 553, страница 83 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 553, страница 83.

Условие.

553. Алюминиевый шар, закреплённый на пружине, совершает колебания с периодом 2 с. Каким будет период колебаний, если алюминиевый шар заменить медным такого же объёма?

Решение.

Дано:

Период колебаний алюминиевого шара, $T_{Al} = 2$ с

Объем алюминиевого шара, $V_{Al}$

Объем медного шара, $V_{Cu}$

$V_{Al} = V_{Cu} = V$

Плотность алюминия, $\rho_{Al} = 2700$ кг/м³

Плотность меди, $\rho_{Cu} = 8900$ кг/м³

Найти:

Период колебаний медного шара, $T_{Cu}$ — ?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $m$ — масса тела, а $k$ — жёсткость пружины.

Для алюминиевого шара период колебаний записывается как:

$T_{Al} = 2\pi\sqrt{\frac{m_{Al}}{k}}$

Для медного шара, закреплённого на той же пружине (жёсткость $k$ не меняется), период будет:

$T_{Cu} = 2\pi\sqrt{\frac{m_{Cu}}{k}}$

Чтобы найти соотношение между периодами, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T_{Cu}}{T_{Al}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_{Cu}}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_{Al}}{k}}} = \sqrt{\frac{m_{Cu}}{m_{Al}}}$

Масса тела связана с его плотностью $\rho$ и объёмом $V$ соотношением $m = \rho V$. Поскольку объёмы шаров по условию одинаковы ($V_{Al} = V_{Cu} = V$), мы можем записать:

$m_{Al} = \rho_{Al} V$

$m_{Cu} = \rho_{Cu} V$

Подставим эти выражения в соотношение периодов:

$\frac{T_{Cu}}{T_{Al}} = \sqrt{\frac{\rho_{Cu} V}{\rho_{Al} V}} = \sqrt{\frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}}}$

Теперь выразим искомый период $T_{Cu}$:

$T_{Cu} = T_{Al} \sqrt{\frac{\rho_{Cu}}{\rho_{Al}}}$

Плотности алюминия и меди являются справочными величинами. Подставим все известные значения в формулу:

$T_{Cu} = 2 \text{ с} \cdot \sqrt{\frac{8900 \text{ кг/м³}}{2700 \text{ кг/м³}}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{89}{27}} \approx 2 \cdot \sqrt{3.296} \approx 2 \cdot 1.815 \approx 3.63$ с

Ответ: период колебаний медного шара составит приблизительно $3.63$ с.