Номер 554, страница 83 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 554, страница 83.

Условие.

554. Чему равна первоначальная длина математического маятника, если при увеличении его длины на 30 см период колебаний маятника увеличивается в 2 раза?

Решение.

Дано:

$\Delta l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$\frac{T_2}{T_1} = 2$

Найти:

$l_1$ — ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $T$ — период колебаний, $l$ — длина маятника, $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулу для начального состояния маятника (с длиной $l_1$ и периодом $T_1$):

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

И для конечного состояния (с длиной $l_2$ и периодом $T_2$):

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

По условию задачи, длина маятника увеличилась на $\Delta l$, а период увеличился в 2 раза. Таким образом:

$l_2 = l_1 + \Delta l$

$T_2 = 2 \cdot T_1$

Найдем отношение периодов $T_2$ и $T_1$:

$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Подставим в это соотношение известные из условия данные:

$2 = \sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{l_1}}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$2^2 = \left(\sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{l_1}}\right)^2$

$4 = \frac{l_1 + \Delta l}{l_1}$

Теперь решим это уравнение относительно $l_1$:

$4l_1 = l_1 + \Delta l$

$4l_1 - l_1 = \Delta l$

$3l_1 = \Delta l$

$l_1 = \frac{\Delta l}{3}$

Подставим числовое значение $\Delta l$ из условия, переведенное в систему СИ:

$l_1 = \frac{0.3 \text{ м}}{3} = 0.1 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для удобства: $0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$.

Ответ: первоначальная длина математического маятника равна $0.1$ м или $10$ см.