Номер 556, страница 83 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 556, страница 83.

Условие.

556. Частица массой 0,01 г совершает колебания с частотой 500 Гц и амплитудой 2 мм. Определите: а) кинетическую энергию частицы при прохождении ею положения равновесия; б) потенциальную энергию частицы при смещении, равном амплитуде; в) полную энергию колеблющейся частицы.

Решение.

Дано:

$m = 0,01 \text{ г} = 0,01 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 10^{-5} \text{ кг}$

$\nu = 500 \text{ Гц}$

$A = 2 \text{ мм} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

а) $E_{к,\text{max}}$ - кинетическую энергию в положении равновесия

б) $E_{п,\text{max}}$ - потенциальную энергию при смещении, равном амплитуде

в) $E$ - полную энергию

Решение:

а) кинетическую энергию частицы при прохождении ею положения равновесия

При прохождении частицей положения равновесия ($x=0$) ее скорость максимальна ($v = v_{\text{max}}$), а потенциальная энергия равна нулю ($E_п = 0$). Следовательно, кинетическая энергия в этот момент максимальна и равна полной энергии колебаний.

Максимальная скорость частицы при гармонических колебаниях определяется формулой:

$v_{\text{max}} = A \cdot \omega$

где $A$ — амплитуда, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота. Циклическая частота связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим значения:

$\omega = 2\pi \cdot 500 \text{ Гц} = 1000\pi \text{ рад/с}$

Теперь найдем максимальную кинетическую энергию:

$E_{к,\text{max}} = \frac{m v_{\text{max}}^2}{2} = \frac{m (A\omega)^2}{2} = \frac{1}{2} m A^2 (2\pi\nu)^2 = 2 m A^2 \pi^2 \nu^2$

Выполним вычисления:

$E_{к,\text{max}} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ кг} \cdot (2 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2 \cdot \pi^2 \cdot (500 \text{ Гц})^2 = 2 \cdot 10^{-5} \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot \pi^2 \cdot 25 \cdot 10^4 = 200 \cdot 10^{-7} \pi^2 \text{ Дж} = 2 \cdot 10^{-5} \pi^2 \text{ Дж}$

Приближенно, считая $\pi^2 \approx 9,87$:

$E_{к,\text{max}} \approx 2 \cdot 10^{-5} \cdot 9,87 \text{ Дж} \approx 19,74 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_{к,\text{max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

б) потенциальную энергию частицы при смещении, равном амплитуде

При максимальном смещении от положения равновесия ($x = A$), скорость частицы становится равной нулю ($v = 0$), а ее потенциальная энергия достигает максимального значения. В этот момент кинетическая энергия равна нулю ($E_к = 0$).

По закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической энергии, а также полной энергии системы.

$E_{п,\text{max}} = E_{к,\text{max}} = E$

Таким образом, потенциальная энергия частицы при смещении, равном амплитуде, равна значению, вычисленному в пункте а).

$E_{п,\text{max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E_{п,\text{max}} = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.

в) полную энергию колеблющейся частицы

Полная механическая энергия колеблющейся частицы в любой момент времени является суммой ее кинетической и потенциальной энергий и остается постоянной (при отсутствии трения):

$E = E_к + E_п = \text{const}$

Полная энергия равна максимальному значению кинетической энергии (когда потенциальная энергия равна нулю) и максимальному значению потенциальной энергии (когда кинетическая энергия равна нулю).

$E = E_{к,\text{max}} = E_{п,\text{max}}$

Следовательно, полная энергия колеблющейся частицы равна значениям, найденным в пунктах а) и б).

$E = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$

Ответ: $E = 2\pi^2 \cdot 10^{-5} \text{ Дж} \approx 1,97 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}$.