Страница 79 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

520. Укажите силы, действующие на математический маятник (рис. 105) в момент времени, когда он находится в крайних положениях; проходит положение равновесия.

Рис. 105

в крайних положениях

В моменты времени, когда математический маятник находится в крайних положениях (наибольшего отклонения от вертикали), на него действуют две силы:
1. Сила тяжести ($\vec{F}_g = m\vec{g}$), которая всегда направлена вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити ($\vec{T}$), которая направлена вдоль нити к точке подвеса.
В этих точках скорость маятника равна нулю ($v=0$). Векторная сумма этих двух сил (равнодействующая сила) направлена по касательной к траектории к положению равновесия и сообщает маятнику ускорение. Эта сила является возвращающей. Сила натяжения нити в этот момент уравновешивает составляющую силы тяжести, направленную вдоль нити: $T = mg \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол отклонения маятника.

Ответ: В крайних положениях на маятник действуют сила тяжести и сила натяжения нити.

проходит положение равновесия

Когда маятник проходит нижнюю точку своей траектории (положение равновесия), на него также действуют две силы:
1. Сила тяжести ($\vec{F}_g = m\vec{g}$), направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити ($\vec{T}$), направленная вертикально вверх.
В этой точке скорость маятника максимальна. Равнодействующая этих двух сил направлена вертикально вверх, к центру окружности (точке подвеса), и сообщает маятнику центростремительное ускорение $a_c = v^2/l$. Поэтому сила натяжения нити в этот момент больше силы тяжести: $T = mg + m\frac{v^2}{l}$.

Ответ: В момент прохождения положения равновесия на маятник действуют сила тяжести и сила натяжения нити.

521. На гладком столе находится груз, прикреплённый к горизонтально расположенной пружине. Груз отклонили от положения равновесия и отпустили (рис. 106). Изобразите силы, действующие на груз. Опишите движение груза.

Рис. 106

Силы, действующие на груз

На груз, который движется по гладкому горизонтальному столу, действуют три силы:

1. Сила тяжести ($ \vec{F}_{т} $ или $ m\vec{g} $), направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры ($ \vec{N} $), направленная вертикально вверх, перпендикулярно поверхности стола. Поскольку груз не движется в вертикальном направлении, эти две силы уравновешивают друг друга, то есть их модули равны: $ N = mg $.

3. Сила упругости ($ \vec{F}_{упр} $), создаваемая пружиной. Эта сила направлена горизонтально вдоль оси пружины и всегда в сторону положения равновесия. Если пружина растянута (как на рисунке), сила упругости направлена влево. Если пружина сжата, сила направлена вправо. Величина силы упругости определяется законом Гука: $ F_{упр} = k|\Delta l| $, где $k$ – жесткость пружины, а $ \Delta l $ – ее деформация (растяжение или сжатие).

Так как стол гладкий, силой трения мы пренебрегаем. Равнодействующая вертикальных сил равна нулю, поэтому движение определяется только горизонтальной силой — силой упругости.

Ответ: На груз действуют сила тяжести (вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры (вертикально вверх) и сила упругости пружины (горизонтально, направлена к положению равновесия).

Описание движения груза

После того как груз отклонили от положения равновесия на расстояние $ \Delta l $ и отпустили, он начнет совершать колебательное движение. Поскольку возвращающая сила (сила упругости) пропорциональна смещению от положения равновесия и направлена к нему, это движение является гармоническим колебанием.

Процесс движения можно описать следующим образом:

1. В начальный момент времени в крайнем положении (максимальное смещение $ A = \Delta l $) скорость груза равна нулю. Сила упругости, действующая на него, максимальна и направлена к положению равновесия. В этой точке потенциальная энергия деформированной пружины максимальна, а кинетическая энергия груза равна нулю.

2. Под действием силы упругости груз начинает двигаться с ускорением к положению равновесия. По мере приближения к центру его скорость увеличивается, а смещение и, следовательно, сила упругости и ускорение уменьшаются. Потенциальная энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию груза.

3. При прохождении положения равновесия смещение равно нулю. В этот момент сила упругости и ускорение груза также равны нулю, а его скорость достигает максимального значения. Потенциальная энергия пружины равна нулю, а кинетическая энергия груза максимальна.

4. Двигаясь дальше по инерции, груз начинает сжимать пружину. Возникает сила упругости, направленная в противоположную сторону (опять к положению равновесия), которая тормозит груз. Его скорость уменьшается. Кинетическая энергия преобразуется обратно в потенциальную энергию сжатой пружины.

5. Груз останавливается в другом крайнем положении, максимально сжав пружину. Его скорость снова равна нулю, а сила упругости и ускорение (направленное к положению равновесия) максимальны. Кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная — снова максимальна.

Далее этот цикл повторяется. Так как стол гладкий и сопротивление воздуха не учитывается, потерь энергии нет. Полная механическая энергия системы (кинетическая энергия груза + потенциальная энергия пружины) сохраняется, поэтому колебания являются незатухающими и будут продолжаться бесконечно долго с постоянной амплитудой.

Ответ: Груз будет совершать незатухающие гармонические колебания около положения равновесия.

522. Лифт вначале движется равноускоренно, затем равномерно и равнозамедленно. Как изменяется период колебаний нитяного маятника, находящегося в лифте?

Решение

Период колебаний нитяного маятника зависит от эффективного ускорения свободного падения $g_{эфф}$ по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$

где $l$ – длина нити маятника. В покоящемся лифте или при его равномерном движении $g_{эфф} = g$, и период равен $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Когда лифт движется с ускорением $a$, значение $g_{эфф}$ изменяется. Если ускорение лифта $a$ сонаправлено с ускорением свободного падения $g$ (лифт ускоряется вниз или замедляется вверх), то $g_{эфф} = g - a$. Если ускорение $a$ направлено противоположно $g$ (лифт ускоряется вверх или замедляется вниз), то $g_{эфф} = g + a$.

Поскольку в условии задачи не указано направление движения лифта (вверх или вниз), необходимо рассмотреть оба возможных случая.

Случай 1: Лифт движется вверх

Равноускоренное движение

При равноускоренном движении вверх ускорение $a$ направлено вверх, то есть против $g$. Эффективное ускорение $g_{эфф} = g+a$. Так как $g_{эфф} > g$, период колебаний $T_1$ будет меньше периода покоя $T_0$.

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

Равномерное движение

При равномерном движении ускорение $a=0$, поэтому $g_{эфф} = g$. Период колебаний $T_2$ становится равен периоду покоя $T_0$. Следовательно, период увеличивается по сравнению с предыдущим этапом ($T_2 > T_1$).

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = T_0$

Равнозамедленное движение

При равнозамедленном движении вверх ускорение $a$ направлено вниз, то есть сонаправлено с $g$. Эффективное ускорение $g_{эфф} = g-a$. Так как $g_{эфф} < g$, период колебаний $T_3$ будет больше периода покоя $T_0$. Следовательно, период снова увеличивается ($T_3 > T_2$).

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Ответ: При движении лифта вверх период колебаний сначала имеет значение, меньшее периода покоя, затем он возрастает до значения периода покоя, и на последнем этапе возрастает еще больше, становясь больше периода покоя.

Случай 2: Лифт движется вниз

Равноускоренное движение

При равноускоренном движении вниз ускорение $a$ направлено вниз, то есть сонаправлено с $g$. Эффективное ускорение $g_{эфф} = g-a$. Так как $g_{эфф} < g$, период колебаний $T_1$ будет больше периода покоя $T_0$.

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}$

Равномерное движение

При равномерном движении ускорение $a=0$, поэтому $g_{эфф} = g$. Период колебаний $T_2$ становится равен периоду покоя $T_0$. Следовательно, период уменьшается по сравнению с предыдущим этапом ($T_2 < T_1$).

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = T_0$

Равнозамедленное движение

При равнозамедленном движении вниз ускорение $a$ направлено вверх, то есть против $g$. Эффективное ускорение $g_{эфф} = g+a$. Так как $g_{эфф} > g$, период колебаний $T_3$ будет меньше периода покоя $T_0$. Следовательно, период снова уменьшается ($T_3 < T_2$).

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}$

Ответ: При движении лифта вниз период колебаний сначала имеет значение, большее периода покоя, затем он убывает до значения периода покоя, и на последнем этапе убывает еще больше, становясь меньше периода покоя.

523. а) Укажите, в чём различие колебательных движений, графики которых представлены на рисунке 107. Определите амплитуду и период колебаний для каждого случая. б) Чем различаются колебания маятников, изображённых на рисунке 108?

Рис. 108

а) Колебательные движения, графики которых представлены на рисунке 107, различаются амплитудой и периодом колебаний.

Дано:

Графики зависимости смещения $x$ от времени $t$ для двух колебательных движений (рис. 107 а и 107 б).

Найти:

Амплитуду $A$ и период $T$ для каждого случая.

Решение:

Амплитуда колебаний ($A$) – это модуль максимального смещения колеблющейся точки от положения равновесия. Период колебаний ($T$) – это наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание.

Для графика а):

Из графика видно, что максимальное смещение от положения равновесия ($x=0$) составляет $0,2$ м. Следовательно, амплитуда $A_a = 0,2$ м.

Одно полное колебание на графике начинается в точке $t=0$, проходит через максимум в $t=1$ с, минимум в $t=3$ с и завершается в точке $t=4$ с. Таким образом, период колебаний $T_a = 4$ с.

Для графика б):

Из графика видно, что максимальное смещение от положения равновесия ($x=0$) составляет $0,1$ м. Следовательно, амплитуда $A_б = 0,1$ м.

Одно полное колебание на этом графике завершается за промежуток времени от $t=0$ до $t=2$ с. Таким образом, период колебаний $T_б = 2$ с.

Ответ: для графика а) амплитуда $A_a = 0,2$ м, период $T_a = 4$ с; для графика б) амплитуда $A_б = 0,1$ м, период $T_б = 2$ с. Движения различаются амплитудами и периодами колебаний.

б) Различие колебаний маятников, изображённых на рисунке 108, заключается в разности фаз их колебаний.

На рисунке 108 а) маятники колеблются синфазно. Это означает, что фазы их колебаний совпадают. Они одновременно достигают максимальных отклонений в одну и ту же сторону и одновременно проходят положение равновесия в одном и том же направлении. Разность фаз между их колебаниями равна нулю ($\Delta\phi = 0$).

На рисунке 108 б) маятники колеблются в противофазе. Это означает, что в любой момент времени фазы их колебаний отличаются на $\pi$ радиан (или 180°). Когда один маятник достигает максимального отклонения в одну сторону, другой в этот же момент времени достигает максимального отклонения в противоположную сторону.

Ответ: колебания маятников на рисунке 108 а) являются синфазными, а на рисунке 108 б) – противофазными.