Номер 570, страница 86 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Механические колебания и волны. Звук. Механические колебания - номер 570, страница 86.

Условие.

* 570. Один математический маятник имеет период колебаний 3 с, а другой — 4 с. Рассчитайте период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин этих маятников.

Решение.

Дано:

Период первого маятника $T_1 = 3$ с

Период второго маятника $T_2 = 4$ с

Длина третьего маятника $l_3 = l_1 + l_2$

Найти:

Период третьего маятника $T_3$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина нити маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Запишем формулы для периодов первого и второго маятников:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}}$

Чтобы найти длины маятников $l_1$ и $l_2$, возведем обе части каждого уравнения в квадрат и выразим $l$:

$T^2 = 4\pi^2\frac{l}{g} \implies l = \frac{T^2 g}{4\pi^2}$

Тогда для наших маятников:

$l_1 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{T_2^2 g}{4\pi^2}$

По условию задачи, длина третьего маятника $l_3$ равна сумме длин первых двух:

$l_3 = l_1 + l_2 = \frac{T_1^2 g}{4\pi^2} + \frac{T_2^2 g}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)$

Период третьего маятника $T_3$ можно найти, подставив его длину $l_3$ в основную формулу периода:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{l_3}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{g}}$

Сократим $g$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$T_3 = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Извлечем $4\pi^2$ из-под корня:

$T_3 = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi} = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Теперь подставим числовые значения периодов $T_1$ и $T_2$:

$T_3 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ с.

Ответ: период колебаний искомого маятника равен 5 с.