Страница 65 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

426. Тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Какому вектору (рис. 84) сонаправлен вектор импульса тела в точке А?

Рис. 84

Решение

Импульс тела $ \vec{p} $ — это векторная физическая величина, равная произведению массы тела $ m $ на его скорость $ \vec{v} $. Он определяется формулой:

$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $

Так как масса $ m $ является положительной скалярной величиной, вектор импульса $ \vec{p} $ всегда сонаправлен (имеет то же направление, что и) с вектором скорости $ \vec{v} $.

При движении тела по окружности вектор его мгновенной скорости в любой точке траектории направлен по касательной к окружности в этой точке в сторону движения.

Рассмотрим векторы, изображенные на рисунке 84, исходящие из точки A. Вектор 4 направлен к центру окружности, то есть он сонаправлен с вектором центростремительного ускорения. Векторы 1 и 3 не являются касательными к окружности в точке А. Единственный вектор, который направлен по касательной к окружности в точке A, — это вектор 2.

Поскольку вектор скорости, а следовательно и импульса, должен быть направлен по касательной к траектории движения, то единственным подходящим направлением из предложенных является направление вектора 2.

Примечание: На рисунке стрелка, указывающая общее направление движения, показывает вращение против часовой стрелки. В этом случае в точке А скорость должна быть направлена вертикально вверх. Вектор 2 направлен вниз, что соответствует движению по часовой стрелке. Вероятнее всего, в условии допущена неточность в изображении, и при решении следует опираться на фундаментальный физический принцип, согласно которому вектор скорости (и импульса) при движении по окружности всегда направлен по касательной.

Ответ: Вектор импульса тела в точке А сонаправлен вектору 2.

427. Тело массой 4 кг движется вдоль оси X. На рисунке 85 представлен график зависимости проекции скорости $v_x$ этого тела на ось X от времени $t$. На сколько увеличился за первые 8 с движения тела модуль его импульса?

Дано:

$m = 4$ кг

$t = 8$ с

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$.

Найти:

$\Delta p$ - изменение модуля импульса тела за первые 8 с.

Решение:

Модуль импульса тела вычисляется по формуле $p = m \cdot v$, где $m$ - масса тела, а $v$ - модуль его скорости.

Так как тело движется вдоль оси Х и его скорость, судя по графику, всегда положительна ($v_x \ge 0$), то модуль скорости равен проекции скорости: $v = v_x$.

Изменение модуля импульса за промежуток времени от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 8$ с равно разности конечного и начального импульсов:

$\Delta p = p_2 - p_1 = m \cdot v_{x2} - m \cdot v_{x1} = m(v_{x2} - v_{x1})$

Найдем начальную и конечную скорости тела по графику.

В начальный момент времени $t_1 = 0$ с проекция скорости тела, согласно графику, составляет $v_{x1} = 2$ м/с.

В момент времени $t_2 = 8$ с проекция скорости тела, согласно графику, составляет $v_{x2} = 5$ м/с.

Теперь можем вычислить изменение модуля импульса:

$\Delta p = 4 \text{ кг} \cdot (5 \text{ м/с} - 2 \text{ м/с}) = 4 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м/с} = 12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: модуль импульса тела увеличился на $12 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

428. Тело движется в положительном направлении по оси X. На рисунке 86 представлен график зависимости проекции силы $F_x$, действующей на тело, от времени $t$. Как изменяется проекция импульса тела на ось X в интервале времени от 0 до 4 с?

Рис. 86

Дано:

График зависимости проекции силы $F_x$ от времени $t$.

Из графика для интервала времени от $t_1 = 0$ с до $t_2 = 4$ с:

Проекция силы $F_x = 6$ Н.

Интервал времени $\Delta t = t_2 - t_1 = 4 \text{ с} - 0 \text{ с} = 4$ с.

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Изменение проекции импульса тела на ось X, $\Delta p_x$ - ?

Решение:

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на это тело. В проекции на ось X это записывается как:

$\Delta p_x = F_x \cdot \Delta t$

где $\Delta p_x$ – изменение проекции импульса тела на ось X, $F_x$ – проекция силы на ось X, а $\Delta t$ – промежуток времени, в течение которого действовала сила.

Из представленного графика видно, что в интервале времени от $t=0$ с до $t=4$ с проекция силы постоянна и равна $F_x = 6$ Н. Промежуток времени составляет $\Delta t = 4$ с.

Подставим числовые значения в формулу:

$\Delta p_x = 6 \text{ Н} \cdot 4 \text{ с} = 24 \text{ Н} \cdot \text{с}$

Так как $1 \text{ Н} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}^2$, то единица измерения $1 \text{ Н} \cdot \text{с} = 1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Геометрически изменение проекции импульса равно площади фигуры под графиком $F_x(t)$. В данном случае это площадь прямоугольника с высотой 6 Н и основанием 4 с, что также равно $6 \cdot 4 = 24 \text{ Н} \cdot \text{с}$.

Поскольку полученное значение $\Delta p_x$ положительно, проекция импульса тела на ось X увеличивается.

Ответ: проекция импульса тела на ось X в интервале времени от 0 до 4 с увеличится на $24 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

429. На рисунке 87 представлен график зависимости скорости $v$ движения автомобиля от времени $t$. Чему равна масса автомобиля, если его импульс через 3 с после начала движения составляет $4500 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$?

Рис. 87

Дано:

$t = 3$ с

$p = 4500$ кг·м/с

Все данные предоставлены в системе СИ.

Найти:

$m$

Решение:

Импульс тела определяется по формуле:

$p = m \cdot v$

где $p$ — импульс тела, $m$ — масса тела, $v$ — скорость тела.

Для того чтобы найти массу автомобиля, выразим ее из формулы импульса:

$m = \frac{p}{v}$

Импульс автомобиля $p$ известен по условию задачи. Скорость $v$ в момент времени $t = 3$ с найдем из графика зависимости скорости от времени.

На оси абсцисс (горизонтальной) находим значение времени $t = 3$ с. Из этой точки проводим перпендикуляр до пересечения с графиком. От точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат (вертикальной) и находим соответствующее значение скорости.

Из графика следует, что в момент времени $t = 3$ с скорость автомобиля $v = 3$ м/с.

Теперь подставим известные значения в формулу для массы:

$m = \frac{4500 \text{ кг·м/с}}{3 \text{ м/с}} = 1500 \text{ кг}$

Ответ: масса автомобиля равна 1500 кг.