Страница 59 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

370. Одним из тренажёров, используемых для подготовки космонавтов к предстоящим полётам, является специальная центрифуга. Какую перегрузку испытывает космонавт, если центрифуга радиусом $R = 6 \text{ м}$ вращается с частотой $n = 20 \text{ об/мин}$?

Дано:

Радиус центрифуги, $R = 6$ м

Частота вращения, $n = 20$ об/мин

Перевод в систему СИ:

Частоту вращения $n$ переведем из оборотов в минуту в обороты в секунду (Гц):

$n = 20 \frac{об}{мин} = \frac{20 \text{ об}}{60 \text{ с}} = \frac{1}{3}$ Гц

Найти:

Перегрузку $k$.

Решение:

Перегрузка $k$ — это безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз центростремительное ускорение $a_c$, создаваемое центрифугой, больше ускорения свободного падения $g$.

$k = \frac{a_c}{g}$

Центростремительное ускорение $a_c$ при движении по окружности связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ по формуле:

$a_c = \omega^2 R$

Угловая скорость $\omega$, в свою очередь, связана с частотой вращения $n$ (в Гц):

$\omega = 2\pi n$

Сначала вычислим угловую скорость:

$\omega = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}$ рад/с

Теперь можем найти центростремительное ускорение:

$a_c = (\frac{2\pi}{3})^2 \cdot 6 = \frac{4\pi^2}{9} \cdot 6 = \frac{24\pi^2}{9} = \frac{8\pi^2}{3}$ м/с²

Для численного расчета примем значение $\pi \approx 3.14$, тогда $\pi^2 \approx 9.87$.

$a_c \approx \frac{8 \cdot 9.87}{3} \approx \frac{78.96}{3} \approx 26.32$ м/с²

Наконец, определим перегрузку, используя стандартное значение ускорения свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²:

$k = \frac{a_c}{g} \approx \frac{26.32 \text{ м/с²}}{9.8 \text{ м/с²}} \approx 2.686$

Округляя результат до десятых, получаем итоговое значение.

Ответ: $k \approx 2.7$.

371. Метатель молота перед броском быстро вращается. При этом молот описывает окружность радиусом 1,4 м со скоростью 10 м/с. Масса молота 7,3 кг. С какой силой надо удерживать молот, чтобы он не вырвался из рук?

Дано:

Радиус окружности, $R = 1,4 \text{ м}$

Скорость молота, $v = 10 \text{ м/с}$

Масса молота, $m = 7,3 \text{ кг}$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Силу удержания молота, $F - ?$

Решение:

Для того чтобы молот двигался по окружности, на него должна действовать центростремительная сила, направленная к центру окружности. Эту силу создает метатель, удерживая молот. По второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы тела на его центростремительное ускорение.

Сила, с которой нужно удерживать молот, равна по модулю центростремительной силе:

$F = F_ц = m \cdot a_ц$

Центростремительное ускорение ($a_ц$) вычисляется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставим выражение для ускорения в формулу для силы:

$F = \frac{m \cdot v^2}{R}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$F = \frac{7,3 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с})^2}{1,4 \text{ м}} = \frac{7,3 \text{ кг} \cdot 100 \text{ м}^2/\text{с}^2}{1,4 \text{ м}} = \frac{730}{1,4} \text{ Н} \approx 521,43 \text{ Н}$

Таким образом, чтобы удержать молот и заставить его двигаться по окружности с заданными параметрами, необходимо приложить силу около 521,4 Н.

Ответ: Чтобы удержать молот, надо приложить силу примерно $521,4 \text{ Н}$.

* 372. Мальчик вращает в горизонтальной плоскости три связанных верёвкой шара (рис. 81). Расстояние между шарами $1 \text{ м}$, масса каждого шара $0,1 \text{ кг}$. Чему равны силы натяжения всех трёх кусков верёвки, если шар 3 движется со скоростью $6 \text{ м/с}$? Какая из верёвок разорвётся в первую очередь, если вращение ускорить? Силой тяжести шаров пренебречь.

Дано:

Расстояние между шарами, $l = 1$ м
Масса каждого шара, $m = 0,1$ кг
Скорость шара 3, $v_3 = 6$ м/с

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Силы натяжения верёвок $T_1$, $T_2$, $T_3$ - ?
Какая верёвка разорвётся первой?

Решение:

Обозначим шары номерами 1, 2 и 3, начиная от центра вращения. Верёвку между центром и шаром 1 обозначим как первую (сила натяжения $T_1$), между шарами 1 и 2 — как вторую ($T_2$), и между шарами 2 и 3 — как третью ($T_3$).

Радиусы вращения шаров:

$R_1 = l = 1$ м

$R_2 = 2l = 2$ м

$R_3 = 3l = 3$ м

Поскольку все три шара связаны верёвкой, они вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Связь между линейной и угловой скоростью: $v = \omega R$.

Чему равны силы натяжения всех трёх кусков верёвки, если шар 3 движется со скоростью 6 м/с?

1. Найдём угловую скорость вращения системы, используя данные для третьего шара:

$\omega = \frac{v_3}{R_3} = \frac{6 \text{ м/с}}{3 \text{ м}} = 2$ рад/с

2. Рассмотрим силы, действующие на каждый шар, и применим второй закон Ньютона. На каждый шар действует центростремительная сила $F_c = m a_c = m \omega^2 R$.

Для шара 3 (внешнего):

Центростремительную силу создаёт только натяжение третьей верёвки $T_3$.

$T_3 = m \omega^2 R_3$

$T_3 = 0,1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 3 \text{ м} = 0,1 \cdot 4 \cdot 3 = 1,2$ Н

Для шара 2 (среднего):

Равнодействующая сил $T_2$ (к центру) и $T_3$ (от центра) является центростремительной силой для второго шара.

$T_2 - T_3 = m \omega^2 R_2$

Отсюда выразим $T_2$:

$T_2 = T_3 + m \omega^2 R_2 = 1,2 \text{ Н} + 0,1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 2 \text{ м} = 1,2 + 0,8 = 2,0$ Н

Для шара 1 (внутреннего):

Равнодействующая сил $T_1$ (к центру) и $T_2$ (от центра) является центростремительной силой для первого шара.

$T_1 - T_2 = m \omega^2 R_1$

Отсюда выразим $T_1$:

$T_1 = T_2 + m \omega^2 R_1 = 2,0 \text{ Н} + 0,1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \text{ м} = 2,0 + 0,4 = 2,4$ Н

Ответ: Силы натяжения равны: $T_1 = 2,4$ Н, $T_2 = 2,0$ Н, $T_3 = 1,2$ Н.

Какая из верёвок разорвётся в первую очередь, если вращение ускорить?

Из расчётов видно, что сила натяжения верёвок неодинакова. Она максимальна для верёвки, ближайшей к центру вращения, и уменьшается по мере удаления от центра:

$T_1 > T_2 > T_3$

Силы натяжения пропорциональны квадрату угловой скорости ($T \propto \omega^2$). При ускорении вращения угловая скорость $\omega$ будет расти, и все силы натяжения будут увеличиваться. Предполагая, что все куски верёвки одинаковы по прочности, первой разорвётся та, в которой возникает наибольшее натяжение.

Наибольшая сила натяжения действует в первой верёвке ($T_1$), соединяющей центр вращения с первым шаром.

Ответ: В первую очередь разорвётся верёвка, ближайшая к центру вращения (первая).

373. Два тела висят на нитях разной длины и описывают горизонтальные окружности. Противоположные концы нитей неподвижны. Докажите, что время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту (задача Гюйгенса).

Дано:

Два тела, вращающиеся на нитях (конические маятники).

Высоты конусов, описываемых нитями, одинаковы: $h_1 = h_2 = h$.

Ускорение свободного падения: $g$.

Доказать:

Периоды обращения тел одинаковы: $T_1 = T_2$.

Решение:

Рассмотрим одно из тел, которое движется по горизонтальной окружности. Такое устройство называется коническим маятником. На тело действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, направленное к центру окружности, по которой движется тело.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a_c} = \vec{T} + m\vec{g}$.

Введем систему координат. Направим ось $OY$ вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности. Пусть нить длиной $l$ образует с вертикалью угол $\alpha$.

Спроецируем уравнение на оси координат:

На ось OY: $T \cos \alpha - mg = 0$, так как вертикального ускорения нет.

Отсюда $T \cos \alpha = mg$ (1)

На ось OX: $T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение $a_c$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом окружности $r$ соотношением $a_c = \omega^2 r$. Подставим это в уравнение (2):

$T \sin \alpha = m\omega^2 r$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (1):

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m\omega^2 r}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{\omega^2 r}{g}$

Из геометрии конического маятника видно, что высота конуса $h$, радиус окружности $r$ и угол $\alpha$ связаны соотношением:

$\tan \alpha = \frac{r}{h}$

Приравняем два выражения для тангенса угла:

$\frac{r}{h} = \frac{\omega^2 r}{g}$

Сократим радиус $r$ (поскольку тело описывает окружность, $r \neq 0$):

$\frac{1}{h} = \frac{\omega^2}{g}$

Выразим отсюда квадрат угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{g}{h}$

Период обращения $T$ связан с угловой скоростью формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Тогда:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{g/h}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

Полученная формула показывает, что период обращения конического маятника зависит только от высоты конуса $h$ и ускорения свободного падения $g$. Он не зависит ни от массы тела, ни от длины нити.

По условию задачи, высоты конусов для двух тел одинаковы: $h_1 = h_2 = h$.

Следовательно, их периоды обращения будут равны:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{h_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{h_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

Таким образом, $T_1 = T_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Период обращения конического маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{h/g}$, где $h$ — высота конуса. Поскольку по условию высоты конусов, описываемых нитями, одинаковы, то и периоды обращения тел также будут одинаковы.

374. Известно, что велосипедист на повороте наклоняется. Угол наклона зависит от скорости движения (возрастает с её увеличением) и от радиуса окружности (возрастает с его уменьшением при одной и той же скорости движения). Зависит ли угол наклона от массы велосипедиста, т. е. должен ли угол наклона быть одинаковым при одной и той же скорости для отца и его десятилетнего сына? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи рассмотрим силы, действующие на систему «велосипедист + велосипед» при движении на повороте.

$m$ – масса системы «велосипедист + велосипед»

$v$ – скорость движения

$r$ – радиус окружности поворота

$\alpha$ – угол наклона велосипедиста к вертикали

$g$ – ускорение свободного падения

Зависит ли угол наклона $\alpha$ от массы $m$?

При движении по дуге окружности на систему действуют две основные силы: сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры со стороны дороги $R$. Силу реакции опоры можно разложить на две составляющие: вертикальную — силу нормальной реакции $N$, и горизонтальную — силу трения покоя $F_{тр}$, которая направлена к центру окружности и является центростремительной силой.

Запишем второй закон Ньютона для вертикальной и горизонтальной осей:

1. По вертикальной оси (ось Y) движение отсутствует, следовательно, сумма сил равна нулю. Сила нормальной реакции $N$ уравновешивает силу тяжести $mg$:

$N = mg$

2. По горизонтальной оси (ось X), направленной к центру поворота, действует сила трения $F_{тр}$. Она сообщает системе центростремительное ускорение $a_{цс} = \frac{v^2}{r}$:

$F_{тр} = m \cdot a_{цс} = m \frac{v^2}{r}$

Чтобы велосипедист не упал, он наклоняется внутрь поворота на такой угол $\alpha$, чтобы равнодействующая силы реакции опоры $R$ (векторная сумма $N$ и $F_{тр}$) проходила через центр масс системы. Из прямоугольного треугольника, образованного векторами сил $N$, $F_{тр}$ и $R$, можно найти тангенс угла наклона $\alpha$ (угол между вектором $R$ и вертикалью):

$\tan(\alpha) = \frac{F_{тр}}{N}$

Теперь подставим в это соотношение выражения для $F_{тр}$ и $N$:

$\tan(\alpha) = \frac{m \frac{v^2}{r}}{mg}$

Масса $m$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем окончательное выражение для угла наклона:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gr}$

Из этой формулы видно, что угол наклона $\alpha$ зависит только от скорости движения $v$ и радиуса поворота $r$. Масса велосипедиста $m$ не входит в итоговое уравнение. Это означает, что при одинаковых значениях скорости и радиуса поворота угол наклона будет одинаковым для объектов любой массы.

Угол наклона велосипедиста на повороте не зависит от его массы. Следовательно, при одной и той же скорости и на одном и том же повороте (т. е. при одинаковом радиусе) угол наклона для отца и его десятилетнего сына должен быть одинаковым.

375. В рассказе М. Твена «Укрощение велосипеда» написано: «Если мне случалось падать направо, я, следуя вполне естественному убеждению, круто заворачивал руль налево, нарушая, таким образом, закон природы. Закон требовал обратного: переднее колесо нужно поворачивать в ту сторону, куда падаешь».

Почему велосипед надо наклонять в сторону поворота?

При движении велосипеда по криволинейной траектории, то есть при совершении поворота, для изменения направления вектора скорости необходимо центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, это ускорение создается силой, направленной к центру поворота, — центростремительной силой. В случае велосипеда на горизонтальной дороге эту роль выполняет сила трения покоя между шинами и дорожным покрытием.

Эта сила трения приложена к нижней части колес, в точке их контакта с дорогой. Однако центр масс системы «велосипедист + велосипед» расположен значительно выше. В результате сила трения создает вращающий момент (момент силы) относительно центра масс, который стремится опрокинуть велосипед наружу от поворота. Если бы велосипедист пытался повернуть, оставаясь в вертикальном положении, он бы неминуемо упал.

Чтобы противодействовать этому опрокидывающему моменту, велосипедист интуитивно или сознательно наклоняет велосипед в сторону поворота. При таком наклоне сила тяжести, приложенная к центру масс и направленная вертикально вниз, также создает момент силы относительно точки опоры (точки контакта колес с дорогой). Этот момент направлен в противоположную сторону — внутрь поворота — и создает "восстанавливающий" эффект.

Равновесие достигается тогда, когда момент силы тяжести полностью компенсирует опрокидывающий момент силы трения. При этом условии сумма моментов сил относительно центра масс равна нулю, и система находится в состоянии динамического равновесия, позволяя совершать поворот без падения. Угол наклона $ \alpha $ зависит от скорости движения $ v $ и радиуса поворота $ R $. Для устойчивого поворота должно выполняться условие: $ \tan(\alpha) = \frac{v^2}{gR} $, где $ g $ — ускорение свободного падения. Из формулы видно, что чем выше скорость и чем круче поворот (меньше радиус), тем больший наклон требуется для сохранения равновесия.

Ответ: Велосипед необходимо наклонять в сторону поворота для того, чтобы создать момент силы тяжести, который уравновесит (скомпенсирует) опрокидывающий момент, создаваемый силой трения (которая и обеспечивает поворот). Это позволяет сохранить равновесие и устойчивость велосипеда при движении по криволинейной траектории.