Номер 372, страница 59 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 372, страница 59.

* 372. Мальчик вращает в горизонтальной плоскости три связанных верёвкой шара (рис. 81). Расстояние между шарами $1 \text{ м}$, масса каждого шара $0,1 \text{ кг}$. Чему равны силы натяжения всех трёх кусков верёвки, если шар 3 движется со скоростью $6 \text{ м/с}$? Какая из верёвок разорвётся в первую очередь, если вращение ускорить? Силой тяжести шаров пренебречь.

Дано:

Расстояние между шарами, $l = 1$ м
Масса каждого шара, $m = 0,1$ кг
Скорость шара 3, $v_3 = 6$ м/с

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Силы натяжения верёвок $T_1$, $T_2$, $T_3$ - ?
Какая верёвка разорвётся первой?

Решение:

Обозначим шары номерами 1, 2 и 3, начиная от центра вращения. Верёвку между центром и шаром 1 обозначим как первую (сила натяжения $T_1$), между шарами 1 и 2 — как вторую ($T_2$), и между шарами 2 и 3 — как третью ($T_3$).

Радиусы вращения шаров:

$R_1 = l = 1$ м

$R_2 = 2l = 2$ м

$R_3 = 3l = 3$ м

Поскольку все три шара связаны верёвкой, они вращаются с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Связь между линейной и угловой скоростью: $v = \omega R$.

Чему равны силы натяжения всех трёх кусков верёвки, если шар 3 движется со скоростью 6 м/с?

1. Найдём угловую скорость вращения системы, используя данные для третьего шара:

$\omega = \frac{v_3}{R_3} = \frac{6 \text{ м/с}}{3 \text{ м}} = 2$ рад/с

2. Рассмотрим силы, действующие на каждый шар, и применим второй закон Ньютона. На каждый шар действует центростремительная сила $F_c = m a_c = m \omega^2 R$.

Для шара 3 (внешнего):

Центростремительную силу создаёт только натяжение третьей верёвки $T_3$.

$T_3 = m \omega^2 R_3$

$T_3 = 0,1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 3 \text{ м} = 0,1 \cdot 4 \cdot 3 = 1,2$ Н

Для шара 2 (среднего):

Равнодействующая сил $T_2$ (к центру) и $T_3$ (от центра) является центростремительной силой для второго шара.

$T_2 - T_3 = m \omega^2 R_2$

Отсюда выразим $T_2$:

$T_2 = T_3 + m \omega^2 R_2 = 1,2 \text{ Н} + 0,1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 2 \text{ м} = 1,2 + 0,8 = 2,0$ Н

Для шара 1 (внутреннего):

Равнодействующая сил $T_1$ (к центру) и $T_2$ (от центра) является центростремительной силой для первого шара.

$T_1 - T_2 = m \omega^2 R_1$

Отсюда выразим $T_1$:

$T_1 = T_2 + m \omega^2 R_1 = 2,0 \text{ Н} + 0,1 \text{ кг} \cdot (2 \text{ рад/с})^2 \cdot 1 \text{ м} = 2,0 + 0,4 = 2,4$ Н

Ответ: Силы натяжения равны: $T_1 = 2,4$ Н, $T_2 = 2,0$ Н, $T_3 = 1,2$ Н.

Какая из верёвок разорвётся в первую очередь, если вращение ускорить?

Из расчётов видно, что сила натяжения верёвок неодинакова. Она максимальна для верёвки, ближайшей к центру вращения, и уменьшается по мере удаления от центра:

$T_1 > T_2 > T_3$

Силы натяжения пропорциональны квадрату угловой скорости ($T \propto \omega^2$). При ускорении вращения угловая скорость $\omega$ будет расти, и все силы натяжения будут увеличиваться. Предполагая, что все куски верёвки одинаковы по прочности, первой разорвётся та, в которой возникает наибольшее натяжение.

Наибольшая сила натяжения действует в первой верёвке ($T_1$), соединяющей центр вращения с первым шаром.

Ответ: В первую очередь разорвётся верёвка, ближайшая к центру вращения (первая).