Номер 365, страница 58 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью - номер 365, страница 58.

Условие.

365. Гонщик на трассе соревнований после спуска автомобиля по склону горы испытал в точке A (рис. 79) состояние невесомости. Радиус закругления трассы в данном месте равен 25 м. Чему равна скорость автомобиля в точке A? Какое состояние испытал гонщик в точке B?

Рис. 79

Решение.

Прежде чем приступить к решению, важно отметить, что условие задачи содержит физическую неточность. В точке А, которая является нижней точкой вогнутого участка трассы (впадины), гонщик не может испытывать состояние невесомости.

В точке А на гонщика действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N_A$, направленная вверх. Второй закон Ньютона для движения по окружности в этой точке имеет вид:$N_A - mg = m \frac{v_A^2}{R}$Сила, с которой гонщик давит на опору (его вес), равна $P = N_A = mg + m \frac{v_A^2}{R}$. Состояние невесомости означает, что вес равен нулю ($P=0$), что невозможно, так как $mg > 0$ и $m \frac{v_A^2}{R} \ge 0$. В этой точке гонщик будет испытывать перегрузку, то есть его вес будет больше силы тяжести.

Состояние невесомости возможно в точке В, верхней точке выпуклого участка трассы (холма). Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Будем решать задачу в предположении, что состояние невесомости гонщик испытал в точке В.

Дано:

$R = 25$ м

$g \approx 9.8$ м/с²

Состояние невесомости в точке B.

Найти:

$v_A$ - ?

Состояние в точке B - ?

Решение:

Чему равна скорость автомобиля в точке А?

1. Сначала определим скорость автомобиля в точке B, используя условие невесомости. В точке B на автомобиль действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N_B$, направленная вертикально вверх. Равнодействующая этих сил сообщает автомобилю центростремительное ускорение $a_c = \frac{v_B^2}{R}$, направленное к центру кривизны (вниз). По второму закону Ньютона:$mg - N_B = m \frac{v_B^2}{R}$Состояние невесомости означает, что сила реакции опоры равна нулю: $N_B = 0$. Тогда уравнение принимает вид:$mg = m \frac{v_B^2}{R}$Отсюда находим квадрат скорости в точке B:$v_B^2 = gR$

2. Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии для нахождения скорости в точке A. Будем считать, что радиусы кривизны в точках А и В одинаковы и равны $R$. Примем, что точка А находится на нулевом уровне потенциальной энергии ($h_A = 0$). Судя по рисунку, трасса состоит из участков окружностей одинакового радиуса $R$. Тогда высота точки B над точкой A будет равна $h_B = 2R$. При движении от B к A (или от A к B) при отсутствии трения полная механическая энергия сохраняется:$E_A = E_B$$\frac{mv_A^2}{2} + mgh_A = \frac{mv_B^2}{2} + mgh_B$Подставляем $h_A = 0$, $h_B = 2R$ и $v_B^2 = gR$:$\frac{mv_A^2}{2} = \frac{m(gR)}{2} + mg(2R)$Сокращаем массу $m$:$\frac{v_A^2}{2} = \frac{gR}{2} + 2gR$$\frac{v_A^2}{2} = \frac{5gR}{2}$$v_A^2 = 5gR$$v_A = \sqrt{5gR}$

3. Подставим числовые значения:$v_A = \sqrt{5 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 25 \, \text{м}} = \sqrt{1225} \, \text{м/с} = 35 \, \text{м/с}$.

Ответ: скорость автомобиля в точке А равна 35 м/с.

Какое состояние испытал гонщик в точке B?

Исходя из нашего предположения, которое позволило решить задачу, гонщик в точке В испытал состояние невесомости. Это состояние, при котором его вес (сила давления на опору) равен нулю. Это происходит, когда центростремительное ускорение, необходимое для движения по траектории, становится равным ускорению свободного падения ($a_c = g$).

Ответ: в точке В гонщик испытал состояние невесомости.