Номер 364, страница 57 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 364, страница 57.

364. Определите направление и модуль скорости, а также ускорение в точках A, B, C, D (рис. 78) колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью $v_0 = 20$ м/с, если радиус колеса $R = 0,5$ м.

Рис. 78

Дано:

Постоянная скорость автомобиля, $v_0 = 20$ м/с

Радиус колеса, $R = 0,5$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Направление и модуль скорости $\vec{v}$, а также ускорение $\vec{a}$ в точках A, B, C, D.

Решение:

Движение любой точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания, можно представить как сумму двух движений: поступательного движения всего колеса со скоростью его центра $\vec{v_0}$ и вращательного движения точки вокруг центра колеса с линейной скоростью $\vec{v_{вр}}$.

Поскольку автомобиль движется с постоянной скоростью, то и центр колеса движется поступательно с постоянной скоростью $v_0 = 20$ м/с. Для качения без проскальзывания модуль линейной скорости точек на ободе относительно центра колеса равен скорости центра: $v_{вр} = \omega R = v_0 = 20$ м/с, где $\omega$ - угловая скорость вращения колеса.

Результирующая скорость любой точки обода является векторной суммой этих скоростей: $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{v_{вр}}$.

Так как скорость автомобиля постоянна, ускорение его центра равно нулю. Поэтому ускорение любой точки на ободе колеса является только центростремительным (нормальным) ускорением, направленным к центру колеса. Его модуль одинаков для всех точек обода и рассчитывается по формуле:

$a = a_ц = \frac{v_{вр}^2}{R} = \frac{v_0^2}{R}$

$a = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{0,5 \text{ м}} = \frac{400}{0,5} \text{ м/с}^2 = 800 \text{ м/с}^2$.

Рассмотрим каждую точку, предполагая, что автомобиль движется горизонтально вправо.

Точка A (нижняя точка, касающаяся земли)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ в этой точке направлена влево. Так как их модули равны ($v_0 = v_{вр}$), результирующая скорость равна нулю.

$v_A = v_0 - v_{вр} = 20 - 20 = 0$ м/с.

Ускорение $\vec{a_A}$ направлено к центру вращения (центру колеса), то есть вертикально вверх. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $v_A = 0$ м/с; ускорение $\vec{a_A}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено вертикально вверх.

Точка C (верхняя точка колеса)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ в этой точке также направлена вправо. Векторы сонаправлены, поэтому их модули складываются.

$v_C = v_0 + v_{вр} = 20 + 20 = 40$ м/с.

Ускорение $\vec{a_C}$ направлено к центру колеса, то есть вертикально вниз. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $\vec{v_C}$ имеет модуль $40$ м/с и направлена горизонтально вправо; ускорение $\vec{a_C}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено вертикально вниз.

Точка B (крайняя левая точка колеса)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ направлена вертикально вверх. Векторы $\vec{v_0}$ и $\vec{v_{вр}}$ перпендикулярны. Модуль результирующей скорости $\vec{v_B}$ находится по теореме Пифагора:

$v_B = \sqrt{v_0^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{2 \cdot 20^2} = 20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с.

Вектор скорости $\vec{v_B}$ направлен под углом $45^\circ$ вверх к горизонту (так как катеты-скорости равны).

Ускорение $\vec{a_B}$ направлено к центру колеса, то есть горизонтально вправо. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $\vec{v_B}$ имеет модуль $20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с и направлена под углом $45^\circ$ вверх к горизонту; ускорение $\vec{a_B}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено горизонтально вправо.

Точка D (крайняя правая точка колеса)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ направлена вертикально вниз. Векторы $\vec{v_0}$ и $\vec{v_{вр}}$ перпендикулярны. Модуль результирующей скорости $\vec{v_D}$ находится по теореме Пифагора:

$v_D = \sqrt{v_0^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{2 \cdot 20^2} = 20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с.

Вектор скорости $\vec{v_D}$ направлен под углом $45^\circ$ вниз к горизонту.

Ускорение $\vec{a_D}$ направлено к центру колеса, то есть горизонтально влево. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $\vec{v_D}$ имеет модуль $20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с и направлена под углом $45^\circ$ вниз к горизонту; ускорение $\vec{a_D}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено горизонтально влево.