Страница 57 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

352. Чему равны частота и период обращения колеса ветродвигателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов?

Дано:

Время вращения $t = 2$ мин

Число оборотов $N = 50$

Перевод в систему СИ:

$t = 2 \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$

Найти:

Частоту обращения $\nu$

Период обращения $T$

Решение:

Частота

Частота обращения — это физическая величина, равная числу оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Она вычисляется по формуле:

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$\nu = \frac{50}{120 \text{ с}} = \frac{5}{12} \text{ Гц} \approx 0,42 \text{ Гц}$

Ответ: частота обращения колеса ветродвигателя равна приблизительно $0,42$ Гц.

Период

Период обращения — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Период можно вычислить по формуле:

$T = \frac{t}{N}$

Также период является величиной, обратной частоте ($T = \frac{1}{\nu}$). Рассчитаем период по первой формуле, подставив известные значения:

$T = \frac{120 \text{ с}}{50} = 2,4 \text{ с}$

Ответ: период обращения колеса ветродвигателя равен $2,4$ с.

353. Радиус, описываемый секундной стрелкой, равен 10 см. Определите линейную скорость острия стрелки, частоту обращения и центростремительное ускорение.

Дано:

Радиус, описываемый секундной стрелкой: $R = 10 \text{ см}$.

Переведем радиус в систему СИ:

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

Линейную скорость острия стрелки, $v$.

Частоту обращения, $f$.

Центростремительное ускорение, $a_ц$.

Решение:

Острие секундной стрелки совершает равномерное движение по окружности. Период обращения секундной стрелки, то есть время, за которое она совершает один полный оборот, по определению равен 60 секундам: $T = 60 \text{ с}$.

Линейная скорость острия стрелки

Линейная скорость при равномерном движении по окружности вычисляется как отношение длины окружности $L$ к периоду обращения $T$.

$v = \frac{L}{T} = \frac{2\pi R}{T}$

Подставим известные значения в формулу:

$v = \frac{2 \cdot \pi \cdot 0.1 \text{ м}}{60 \text{ с}} = \frac{0.2\pi}{60} \text{ м/с} = \frac{\pi}{300} \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение (при $\pi \approx 3.1416$):

$v \approx \frac{3.1416}{300} \text{ м/с} \approx 0.0105 \text{ м/с}$

Ответ: Линейная скорость острия стрелки равна приблизительно $0.0105 \text{ м/с}$.

Частота обращения

Частота обращения $f$ — это величина, обратная периоду обращения $T$. Она показывает, сколько полных оборотов совершает тело за единицу времени.

$f = \frac{1}{T}$

Подставим значение периода:

$f = \frac{1}{60 \text{ с}} \approx 0.0167 \text{ Гц}$

Ответ: Частота обращения стрелки равна приблизительно $0.0167 \text{ Гц}$.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение $a_ц$ — это ускорение, с которым тело движется по окружности, и оно всегда направлено к центру этой окружности. Его можно вычислить по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Для большей точности используем значение скорости в виде дроби с $\pi$:

$a_ц = \frac{(\frac{\pi}{300} \text{ м/с})^2}{0.1 \text{ м}} = \frac{\pi^2}{90000 \cdot 0.1} \text{ м/с}^2 = \frac{\pi^2}{9000} \text{ м/с}^2$

Вычислим приближенное значение (при $\pi^2 \approx 9.87$):

$a_ц \approx \frac{9.87}{9000} \text{ м/с}^2 \approx 0.0011 \text{ м/с}^2$

Ответ: Центростремительное ускорение острия стрелки равно приблизительно $0.0011 \text{ м/с}^2$.

354. Скорость поезда 72 км/ч. Сколько оборотов в минуту делают колёса локомотива, радиус которых 0,6 м?

Дано:

Скорость поезда $v = 72$ км/ч

Радиус колеса $R = 0,6$ м

Время $t = 1$ мин

Переведем все данные в систему СИ (Международную систему единиц):
Скорость: $v = 72 \frac{км}{ч} = 72 \times \frac{1000 \ м}{3600 \ с} = 20 \frac{м}{с}$
Время: $t = 1 \ мин = 60 \ с$

Найти:

Количество оборотов в минуту $N$ - ?

Решение:

1. Сначала найдем расстояние $S$, которое поезд проезжает за 1 минуту (60 секунд). Для этого используем формулу пути при равномерном движении:

$S = v \times t$

$S = 20 \frac{м}{с} \times 60 \ с = 1200 \ м$

2. Теперь найдем длину окружности колеса локомотива $L$. Длина окружности вычисляется по формуле:

$L = 2 \pi R$

$L = 2 \times \pi \times 0,6 \ м = 1,2 \pi \ м$

3. Количество оборотов $N$, которое колесо совершит, пройдя расстояние $S$, равно отношению этого расстояния к длине окружности колеса:

$N = \frac{S}{L}$

$N = \frac{1200 \ м}{1,2 \pi \ м} = \frac{1000}{\pi}$

4. Вычислим приближенное значение, приняв $\pi \approx 3,14$:

$N \approx \frac{1000}{3,14} \approx 318,5$ оборотов.

Таким образом, за одну минуту колеса локомотива делают примерно 318,5 оборотов.

Ответ: колеса локомотива делают примерно 318,5 оборотов в минуту.

355. При точении деталей скорость резания достигает 240 м/мин. На какое число оборотов в минуту при этом нужно включить шпиндель токарного станка, если диаметр детали 100 мм?

Дано:

Скорость резания $v = 240$ м/мин

Диаметр детали $d = 100$ мм

Перевод данных в систему СИ:

Скорость резания: $v = 240 \frac{\text{м}}{\text{мин}} = \frac{240 \text{ м}}{60 \text{ с}} = 4 \text{ м/с}$

Диаметр детали: $d = 100 \text{ мм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Число оборотов в минуту $n$

Решение:

Скорость резания $v$ представляет собой линейную скорость точек на поверхности вращающейся детали. Эта скорость связана с числом оборотов шпинделя $n$ и диаметром детали $d$.

За один полный оборот точка на поверхности детали проходит расстояние, равное длине ее окружности $L$. Длина окружности вычисляется по формуле:

$L = \pi d$

Число оборотов в минуту $n$ — это количество полных оборотов, которое деталь совершает за одну минуту. Чтобы найти эту величину, нужно общий путь, пройденный точкой за минуту (равный скорости $v$), разделить на длину одного оборота ($L$).

$n = \frac{v}{L} = \frac{v}{\pi d}$

Для проведения расчетов необходимо использовать согласованные единицы измерения. Поскольку требуется найти число оборотов в минуту, а скорость уже дана в метрах в минуту, целесообразно использовать эти единицы. Для этого переведем диаметр детали из миллиметров в метры:

$d = 100 \text{ мм} = 0.1 \text{ м}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$n = \frac{240 \text{ м/мин}}{\pi \cdot 0.1 \text{ м}} = \frac{2400}{\pi} \text{ об/мин}$

Теперь вычислим числовое значение, приняв $\pi \approx 3.14159$:

$n \approx \frac{2400}{3.14159} \approx 763.94 \text{ об/мин}$

На токарном станке число оборотов устанавливается как целое значение, поэтому округлим результат до ближайшего целого.

Ответ: $n \approx 764$ об/мин.

356. Секундная стрелка часов в 4 раза короче минутной. Рассчитайте отношение скоростей концов стрелок.

Дано:

Обозначим длину минутной стрелки как $L_м$, а длину секундной стрелки как $L_с$.

По условию, секундная стрелка в 4 раза короче минутной, значит: $L_м = 4 \cdot L_с$.

Период обращения секундной стрелки (время одного полного оборота) $T_с = 1$ минута.

Период обращения минутной стрелки $T_м = 1$ час.

Перевод в систему СИ:

$T_с = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

$T_м = 1 \text{ ч} = 60 \text{ мин} = 3600 \text{ с}$

Найти:

Отношение скоростей концов стрелок $\frac{v_с}{v_м}$ - ?

Решение:

Концы стрелок часов движутся равномерно по окружности. Линейная скорость точки при таком движении вычисляется по формуле:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

где $R$ – это радиус окружности (в данном случае длина стрелки), а $T$ – период обращения.

Запишем формулы для скоростей концов секундной ($v_с$) и минутной ($v_м$) стрелок:

$v_с = \frac{2 \pi L_с}{T_с}$

$v_м = \frac{2 \pi L_м}{T_м}$

Чтобы найти отношение скоростей, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{v_с}{v_м} = \frac{\frac{2 \pi L_с}{T_с}}{\frac{2 \pi L_м}{T_м}} = \frac{2 \pi L_с}{T_с} \cdot \frac{T_м}{2 \pi L_м}$

Сократив $2 \pi$, получим:

$\frac{v_с}{v_м} = \frac{L_с}{L_м} \cdot \frac{T_м}{T_с}$

Из условия задачи мы знаем, что $L_м = 4 L_с$, значит $\frac{L_с}{L_м} = \frac{L_с}{4 L_с} = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим все известные значения в полученную формулу:

$\frac{v_с}{v_м} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3600 \text{ с}}{60 \text{ с}} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15$

Ответ: отношение скорости конца секундной стрелки к скорости конца минутной стрелки равно 15.

357. Тело движется по окружности радиусом 1 м. Чему равен период обращения тела по окружности, если центростремительное ускорение составляет $4 \text{ м/с}^2$?

Дано:

Радиус окружности, $R = 1 \text{ м}$
Центростремительное ускорение, $a_ц = 4 \text{ м/с}^2$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Период обращения, $T - ?$

Решение:

Центростремительное ускорение ($a_ц$) при движении тела по окружности радиусом $R$ с линейной скоростью $v$ определяется по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Линейная скорость $v$ связана с периодом обращения $T$ (временем, за которое тело совершает один полный оборот) следующим соотношением:

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Чтобы связать центростремительное ускорение с периодом, подставим выражение для скорости во вторую формулу в первую:

$a_ц = \frac{(\frac{2\pi R}{T})^2}{R} = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2 R} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Из полученной формулы выразим искомую величину — период обращения $T$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 R}{a_ц}$

$T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R}{a_ц}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{a_ц}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{4 \text{ м/с}^2}} = 2\pi\sqrt{0.25 \text{ с}^2} = 2\pi \cdot 0.5 \text{ с} = \pi \text{ с}$

Приближенное значение периода, если принять $\pi \approx 3.14$:

$T \approx 3.14 \text{ с}$

Ответ: $T = \pi \text{ с} \approx 3.14 \text{ с}$.

358. При равномерном движении по окружности радиусом 0,1 м тело совершает 30 оборотов в минуту. Чему равно центростремительное ускорение?

Дано:

Радиус окружности, $R = 0,1$ м

Число оборотов, $N = 30$

Время, $t = 1$ мин

Перевод в систему СИ:
$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

Центростремительное ускорение, $a_c$ — ?

Решение:

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности можно найти по формуле:

$a_c = \omega^2 R$

где $\omega$ — угловая скорость, а $R$ — радиус окружности.

Угловая скорость связана с частотой вращения $f$ соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Частота вращения — это число оборотов, совершаемых телом за единицу времени:

$f = \frac{N}{t}$

Подставим данные из условия для нахождения частоты:

$f = \frac{30}{60 \text{ с}} = 0,5 \text{ с}^{-1} = 0,5 \text{ Гц}$

Теперь найдем угловую скорость:

$\omega = 2\pi \cdot 0,5 \text{ Гц} = \pi \text{ рад/с}$

Подставим значение угловой скорости в формулу для центростремительного ускорения:

$a_c = (\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 0,1 \text{ м} = 0,1\pi^2 \text{ м/с}^2$

Для получения численного значения, используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$a_c \approx 0,1 \cdot (3,14)^2 \text{ м/с}^2 \approx 0,1 \cdot 9,8596 \text{ м/с}^2 \approx 0,986 \text{ м/с}^2$

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$a_c \approx 0,99 \text{ м/с}^2$

Ответ: центростремительное ускорение равно $0,1\pi^2 \text{ м/с}^2$, что приблизительно составляет $0,99 \text{ м/с}^2$.

359. При какой скорости движения автомобиля МАЗ-200 его колесо диаметром 1,1 м вращается с частотой 310 об/мин?

Дано

Диаметр колеса, $d = 1,1$ м

Частота вращения, $n = 310$ об/мин

Переведем данные в систему СИ:

Частота вращения в оборотах в секунду (Гц) вычисляется как:

$\nu = \frac{n}{60} = \frac{310}{60} = \frac{31}{6}$ Гц $\approx 5,17$ Гц

Найти:

Скорость движения автомобиля, $v$ - ?

Решение

Скорость поступательного движения автомобиля равна линейной скорости точек на ободе колеса (при условии отсутствия проскальзывания). Линейная скорость $v$ связана с частотой вращения $\nu$ и диаметром колеса $d$ следующей формулой:

$v = \pi d \nu$

Эта формула получается из связи линейной и угловой скоростей ($v = \omega r$) и связи угловой скорости с частотой ($\omega = 2\pi\nu$), где радиус $r = d/2$. Тогда $v = (2\pi\nu)(\frac{d}{2}) = \pi d \nu$.

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \pi \cdot 1,1 \text{ м} \cdot \frac{31}{6} \text{ Гц}$

Произведем вычисления, приняв $\pi \approx 3,1416$:

$v \approx \frac{3,1416 \cdot 1,1 \cdot 31}{6} \approx \frac{107,16}{6} \approx 17,86$ м/с

Для наглядности можно перевести скорость в километры в час, для этого нужно умножить значение в м/с на 3,6:

$v \approx 17,86 \text{ м/с} \cdot 3,6 \approx 64,3$ км/ч

Ответ: скорость движения автомобиля составляет примерно $17,86$ м/с (или $64,3$ км/ч).

360. Период обращения первого искусственного спутника Земли был равен 96,2 мин. Сколько оборотов совершал спутник в минуту; в сутки?

Дано:

Период обращения спутника, $T = 96,2 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:
$T = 96,2 \text{ мин} = 96,2 \cdot 60 \text{ с} = 5772 \text{ с}$

Найти:

$N_{мин}$ - число оборотов в минуту

$N_{сутки}$ - число оборотов в сутки

Решение:

Период обращения ($T$) – это время, необходимое для совершения одного полного оборота. Чтобы найти количество оборотов ($N$) за определенный промежуток времени ($t$), нужно это время разделить на период:

$N = \frac{t}{T}$

в минуту

Чтобы найти, сколько оборотов совершает спутник за одну минуту ($t_{мин} = 1 \text{ мин}$), подставим значения в формулу. Расчет удобнее проводить в минутах.

$N_{мин} = \frac{1 \text{ мин}}{96,2 \text{ мин}} \approx 0,0104 \text{ оборота}$

Ответ: в минуту спутник совершал примерно 0,0104 оборота.

в сутки

Сначала определим, сколько минут в одних сутках ($t_{сутки}$). В сутках 24 часа, в каждом часе 60 минут.

$t_{сутки} = 24 \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 1440 \text{ мин}$

Теперь найдем количество оборотов за сутки, разделив общее время в минутах на период обращения спутника.

$N_{сутки} = \frac{1440 \text{ мин}}{96,2 \text{ мин}} \approx 14,9688 \text{ оборотов}$

Округляя результат до трех значащих цифр (как в исходных данных), получаем:

$N_{сутки} \approx 15,0 \text{ оборотов}$

Ответ: в сутки спутник совершал примерно 15,0 оборотов.

361. Какой путь проходит за сутки конец минутной стрелки Кремлёвских курантов, если длина стрелки 4,5 м?

Дано:

Длина минутной стрелки (радиус), $r = 4,5 \text{ м}$

Время движения, $t = 1 \text{ сутки}$

В сутках 24 часа, $N = 24$

Найти:

Путь $S$, пройденный концом стрелки.

Решение:

Конец минутной стрелки часов движется по окружности, радиус которой равен длине стрелки $r$.

Путь, который проходит конец стрелки за один полный оборот, равен длине этой окружности $C$. Длину окружности можно найти по формуле:

$C = 2 \pi r$

Минутная стрелка совершает один полный оборот за 1 час.

В сутках 24 часа, следовательно, за сутки стрелка совершит 24 полных оборота.

Чтобы найти общий путь $S$, пройденный концом стрелки за сутки, необходимо умножить длину одного оборота на количество оборотов:

$S = N \cdot C = N \cdot 2 \pi r$

Подставим числовые значения в формулу:

$S = 24 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 4,5 \text{ м} = 24 \cdot 9 \pi \text{ м} = 216 \pi \text{ м}$

Для получения численного ответа примем значение $\pi \approx 3,14$:

$S \approx 216 \cdot 3,14 = 678,24 \text{ м}$

Ответ: за сутки конец минутной стрелки проходит путь, равный $216 \pi \text{ м}$, что приблизительно составляет $678,24 \text{ м}$.

362. Заднее колесо трактора, диаметр которого равен 120 см, сделало 520 оборотов. Сколько оборотов сделало на том же расстоянии переднее колесо диаметром 64 см?

Дано:

Диаметр заднего колеса $d_1 = 120$ см

Количество оборотов заднего колеса $N_1 = 520$

Диаметр переднего колеса $d_2 = 64$ см

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 1,2$ м

$d_2 = 0,64$ м

Найти:

Количество оборотов переднего колеса $N_2$

Решение:

Расстояние, которое проезжает трактор, одинаково для переднего и заднего колес. Расстояние $S$, которое проходит колесо, можно вычислить как произведение длины его окружности $C$ на количество сделанных оборотов $N$.

Длина окружности колеса вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр колеса.

Следовательно, расстояние, пройденное задним колесом, равно:

$S_1 = N_1 \cdot C_1 = N_1 \cdot \pi \cdot d_1$

Расстояние, пройденное передним колесом, равно:

$S_2 = N_2 \cdot C_2 = N_2 \cdot \pi \cdot d_2$

Поскольку расстояния равны ($S_1 = S_2$), мы можем приравнять эти два выражения:

$N_1 \cdot \pi \cdot d_1 = N_2 \cdot \pi \cdot d_2$

Сократим константу $\pi$ в обеих частях уравнения:

$N_1 \cdot d_1 = N_2 \cdot d_2$

Из этого соотношения видно, что количество оборотов обратно пропорционально диаметру колеса. Теперь выразим искомое количество оборотов переднего колеса $N_2$:

$N_2 = \frac{N_1 \cdot d_1}{d_2}$

Подставим известные значения в формулу. Для расчета можно использовать значения диаметров в сантиметрах, так как их отношение не зависит от единиц измерения.

$N_2 = \frac{520 \cdot 120}{64} = \frac{62400}{64} = 975$

Таким образом, переднее колесо сделало 975 оборотов на том же расстоянии.

Ответ: 975 оборотов.

363. Шарик на нити длиной 20 см равномерно вращается в вертикальной плоскости. Чему равно центростремительное ускорение шарика, если за 2 мин он делает 60 оборотов?

Дано:

Длина нити (радиус), $L = 20$ см

Время, $t = 2$ мин

Число оборотов, $N = 60$

$L = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$t = 2 \text{ мин} = 2 \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ с}$

Найти:

Центростремительное ускорение, $a_c$ — ?

Решение:

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, вычисляется по формуле:

$a_c = \omega^2 \cdot r$

где $\omega$ — угловая скорость, а $r$ — радиус окружности. В данном случае радиус равен длине нити $L$.

Угловую скорость можно найти через частоту вращения $f$:

$\omega = 2\pi f$

Частота вращения — это число оборотов в единицу времени:

$f = \frac{N}{t}$

Подставим известные значения, чтобы найти частоту:

$f = \frac{60}{120 \text{ с}} = 0.5 \text{ Гц}$

Теперь найдем угловую скорость:

$\omega = 2\pi \cdot 0.5 \text{ Гц} = \pi \text{ рад/с}$

Наконец, рассчитаем центростремительное ускорение, подставив значения $\omega$ и $r=L$ в первую формулу:

$a_c = (\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 0.2 \text{ м} = \pi^2 \cdot 0.2 \text{ м/с}^2$

Используя приближенное значение $\pi^2 \approx 9.87$, получим:

$a_c \approx 9.87 \cdot 0.2 \text{ м/с}^2 \approx 1.974 \text{ м/с}^2$

Округлив до сотых, получим $1.97 \text{ м/с}^2$.

Ответ: центростремительное ускорение шарика равно приблизительно $1.97 \text{ м/с}^2$.

364. Определите направление и модуль скорости, а также ускорение в точках A, B, C, D (рис. 78) колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью $v_0 = 20$ м/с, если радиус колеса $R = 0,5$ м.

Рис. 78

Дано:

Постоянная скорость автомобиля, $v_0 = 20$ м/с

Радиус колеса, $R = 0,5$ м

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Направление и модуль скорости $\vec{v}$, а также ускорение $\vec{a}$ в точках A, B, C, D.

Решение:

Движение любой точки на ободе колеса, катящегося без проскальзывания, можно представить как сумму двух движений: поступательного движения всего колеса со скоростью его центра $\vec{v_0}$ и вращательного движения точки вокруг центра колеса с линейной скоростью $\vec{v_{вр}}$.

Поскольку автомобиль движется с постоянной скоростью, то и центр колеса движется поступательно с постоянной скоростью $v_0 = 20$ м/с. Для качения без проскальзывания модуль линейной скорости точек на ободе относительно центра колеса равен скорости центра: $v_{вр} = \omega R = v_0 = 20$ м/с, где $\omega$ - угловая скорость вращения колеса.

Результирующая скорость любой точки обода является векторной суммой этих скоростей: $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{v_{вр}}$.

Так как скорость автомобиля постоянна, ускорение его центра равно нулю. Поэтому ускорение любой точки на ободе колеса является только центростремительным (нормальным) ускорением, направленным к центру колеса. Его модуль одинаков для всех точек обода и рассчитывается по формуле:

$a = a_ц = \frac{v_{вр}^2}{R} = \frac{v_0^2}{R}$

$a = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{0,5 \text{ м}} = \frac{400}{0,5} \text{ м/с}^2 = 800 \text{ м/с}^2$.

Рассмотрим каждую точку, предполагая, что автомобиль движется горизонтально вправо.

Точка A (нижняя точка, касающаяся земли)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ в этой точке направлена влево. Так как их модули равны ($v_0 = v_{вр}$), результирующая скорость равна нулю.

$v_A = v_0 - v_{вр} = 20 - 20 = 0$ м/с.

Ускорение $\vec{a_A}$ направлено к центру вращения (центру колеса), то есть вертикально вверх. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $v_A = 0$ м/с; ускорение $\vec{a_A}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено вертикально вверх.

Точка C (верхняя точка колеса)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ в этой точке также направлена вправо. Векторы сонаправлены, поэтому их модули складываются.

$v_C = v_0 + v_{вр} = 20 + 20 = 40$ м/с.

Ускорение $\vec{a_C}$ направлено к центру колеса, то есть вертикально вниз. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $\vec{v_C}$ имеет модуль $40$ м/с и направлена горизонтально вправо; ускорение $\vec{a_C}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено вертикально вниз.

Точка B (крайняя левая точка колеса)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ направлена вертикально вверх. Векторы $\vec{v_0}$ и $\vec{v_{вр}}$ перпендикулярны. Модуль результирующей скорости $\vec{v_B}$ находится по теореме Пифагора:

$v_B = \sqrt{v_0^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{2 \cdot 20^2} = 20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с.

Вектор скорости $\vec{v_B}$ направлен под углом $45^\circ$ вверх к горизонту (так как катеты-скорости равны).

Ускорение $\vec{a_B}$ направлено к центру колеса, то есть горизонтально вправо. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $\vec{v_B}$ имеет модуль $20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с и направлена под углом $45^\circ$ вверх к горизонту; ускорение $\vec{a_B}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено горизонтально вправо.

Точка D (крайняя правая точка колеса)

Скорость поступательного движения $\vec{v_0}$ направлена вправо. Скорость вращательного движения $\vec{v_{вр}}$ направлена вертикально вниз. Векторы $\vec{v_0}$ и $\vec{v_{вр}}$ перпендикулярны. Модуль результирующей скорости $\vec{v_D}$ находится по теореме Пифагора:

$v_D = \sqrt{v_0^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{2 \cdot 20^2} = 20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с.

Вектор скорости $\vec{v_D}$ направлен под углом $45^\circ$ вниз к горизонту.

Ускорение $\vec{a_D}$ направлено к центру колеса, то есть горизонтально влево. Его модуль равен $a_ц$.

Ответ: скорость $\vec{v_D}$ имеет модуль $20\sqrt{2} \approx 28,3$ м/с и направлена под углом $45^\circ$ вниз к горизонту; ускорение $\vec{a_D}$ имеет модуль $800$ м/с² и направлено горизонтально влево.