Страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

385. Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?

Дано:

Масса планеты $M_П = 2M_З$

Радиус планеты $R_П = 2R_З$

где $M_З$ и $R_З$ — масса и радиус Земли.

Найти:

$v_{1П}$ — первая космическая скорость для планеты.

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ (или круговая скорость) для небесного тела определяется формулой:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Для Земли первая космическая скорость $v_{1З}$ равна:

$v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}} \approx 7.9$ км/с.

Теперь вычислим первую космическую скорость для указанной планеты ($v_{1П}$), используя её массу $M_П$ и радиус $R_П$:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{GM_П}{R_П}}$

Подставим в формулу значения из условия задачи, $M_П = 2M_З$ и $R_П = 2R_З$:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{G(2M_З)}{2R_З}}$

Сократим двойки в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Как мы видим, полученное выражение для $v_{1П}$ в точности совпадает с выражением для первой космической скорости Земли $v_{1З}$.

Таким образом, $v_{1П} = v_{1З}$.

Это означает, что первая космическая скорость для планеты, у которой масса и радиус в 2 раза больше земных, будет такой же, как и у Земли.

Ответ: Первая космическая скорость для данной планеты равна первой космической скорости для Земли, то есть приблизительно 7.9 км/с.

386. Рассчитайте первую космическую скорость: а) на планете Марс (масса $6,43 \cdot 10^{23}$ кг, средний радиус $3,38 \cdot 10^{6}$ м); б) на планете Сатурн (масса $5,69 \cdot 10^{26}$ кг, средний радиус $6,04 \cdot 10^{7}$ м); в) на планете Уран (масса $8,69 \cdot 10^{25}$ кг, средний радиус $2,38 \cdot 10^{7}$ м).

Первая космическая скорость $v_1$ — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Она вычисляется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ – гравитационная постоянная ($G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$), $M$ – масса планеты, $R$ – её средний радиус.

а) на планете Марс

Дано:

Масса Марса $M_М = 6,43 \cdot 10^{23}$ кг

Средний радиус Марса $R_М = 3,38 \cdot 10^6$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Первую космическую скорость на Марсе $v_{1,М}$ - ?

Решение:

Подставим данные для Марса в формулу для первой космической скорости:

$v_{1,М} = \sqrt{\frac{GM_М}{R_М}}$

$v_{1,М} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6,43 \cdot 10^{23}}{3,38 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{42,89 \cdot 10^{12}}{3,38 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{12,69 \cdot 10^6} \approx 3562 \text{ м/с}$

Переведём метры в секунду в километры в секунду:

$3562 \text{ м/с} = 3,562 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость на Марсе составляет примерно 3,56 км/с.

б) на планете Сатурн

Дано:

Масса Сатурна $M_С = 5,69 \cdot 10^{26}$ кг

Средний радиус Сатурна $R_С = 6,04 \cdot 10^7$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Первую космическую скорость на Сатурне $v_{1,С}$ - ?

Решение:

Подставим данные для Сатурна в формулу:

$v_{1,С} = \sqrt{\frac{GM_С}{R_С}}$

$v_{1,С} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,69 \cdot 10^{26}}{6,04 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{\frac{37,95 \cdot 10^{15}}{6,04 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{6,28 \cdot 10^8} \approx 25067 \text{ м/с}$

Переведём метры в секунду в километры в секунду:

$25067 \text{ м/с} \approx 25,07 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость на Сатурне составляет примерно 25,07 км/с.

в) на планете Уран

Дано:

Масса Урана $M_У = 8,69 \cdot 10^{25}$ кг

Средний радиус Урана $R_У = 2,38 \cdot 10^7$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Первую космическую скорость на Уране $v_{1,У}$ - ?

Решение:

Подставим данные для Урана в формулу:

$v_{1,У} = \sqrt{\frac{GM_У}{R_У}}$

$v_{1,У} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8,69 \cdot 10^{25}}{2,38 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{\frac{57,96 \cdot 10^{14}}{2,38 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{24,35 \cdot 10^7} = \sqrt{2,435 \cdot 10^8} \approx 15606 \text{ м/с}$

Переведём метры в секунду в километры в секунду:

$15606 \text{ м/с} \approx 15,61 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость на Уране составляет примерно 15,61 км/с.

387. Найдите среднюю скорость движения Земли по орбите, если радиус орбиты $1,5 \cdot 10^{11}$ м, а масса Солнца $2 \cdot 10^{30}$ кг.

Дано:

Радиус орбиты $r = 1.5 \cdot 10^{11}$ м

Масса Солнца $M = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Средняя скорость движения Земли $v$.

Решение:

Движение Земли вокруг Солнца происходит по орбите, которую для расчета средней скорости можно считать круговой. Сила всемирного тяготения, действующая со стороны Солнца на Землю, является центростремительной силой, которая удерживает Землю на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу всемирного тяготения $F_g$ и центростремительную силу $F_c$:

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Солнца, $m$ — масса Земли, $r$ — радиус орбиты.

Центростремительная сила, действующая на Землю, вычисляется как:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

где $v$ — искомая средняя скорость движения Земли.

Приравняем правые части выражений:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Масса Земли $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Упростим выражение, умножив обе части на $r$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Теперь выразим скорость $v$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}}{1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}}}$

Проведем вычисления:

$v = \sqrt{\frac{13.34 \cdot 10^{19}}{1.5 \cdot 10^{11}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{8.893 \cdot 10^8} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx 2.98 \cdot 10^4$ м/с

Для наглядности эту скорость можно выразить в километрах в секунду:

$2.98 \cdot 10^4 \text{ м/с} = 29.8 \text{ км/с}$

Ответ: средняя скорость движения Земли по орбите равна примерно $2.98 \cdot 10^4$ м/с.

388. Первый космонавт Ю. А. Гагарин на космическом корабле «Восток-1» пролетел вокруг Земли расстояние 41 580 км со средней скоростью 28 000 км/ч. Сколько времени длился полёт?

Дано:

Расстояние, $S = 41580$ км

Средняя скорость, $v = 28000$ км/ч

Перевод в систему СИ:

$S = 41580 \text{ км} = 41580 \cdot 1000 \text{ м} = 41\ 580\ 000 \text{ м}$

$v = 28000 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 28000 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} \approx 7777,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Время полёта, $t$ - ?

Решение:

Для нахождения времени полёта используется формула, связывающая расстояние, скорость и время при равномерном движении:

$S = v \cdot t$

Чтобы найти время $t$, нужно расстояние $S$ разделить на среднюю скорость $v$:

$t = \frac{S}{v}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи. Поскольку расстояние дано в километрах (км), а скорость в километрах в час (км/ч), то время мы получим в часах (ч).

$t = \frac{41580 \text{ км}}{28000 \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 1,485 \text{ ч}$

Для более удобного восприятия можно перевести полученное время из часов в минуты. В одном часе 60 минут.

$1,485 \text{ ч} = 1,485 \cdot 60 \text{ мин} = 89,1 \text{ мин}$

Ответ: полёт длился 1,485 часа (или 89,1 минуты).

389. Средняя высота, на которой спутник движется над поверхностью Земли, 1700 км. Определите скорость движения и период обращения спутника, если радиус Земли 6400 км.

Дано:

Средняя высота спутника над поверхностью Земли, $h = 1700 \text{ км}$

Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$h = 1700 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.7 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость движения спутника, $v$

Период обращения спутника, $T$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_т$ равна центростремительной силе $F_{цс}$:

$F_т = F_{цс}$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на спутник:

$F_{цс} = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $m$ – масса спутника, $v$ – его орбитальная скорость, $r$ – радиус орбиты.

Приравнивая эти две силы, получаем:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 1.7 \cdot 10^6 \text{ м} = 8.1 \cdot 10^6 \text{ м}$

Из уравнения для сил, сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в первой степени, выразим квадрат скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Отсюда находим скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{8.1 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.982 \cdot 10^{14}}{8.1 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{4.916 \cdot 10^7} \approx 7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Таким образом, скорость спутника составляет примерно $7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, или $7.01 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Период обращения $T$ – это время одного полного оборота спутника вокруг Земли. Он равен отношению длины орбиты $L = 2 \pi r$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 8.1 \cdot 10^6 \text{ м}}{7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{50893795}{7011} \approx 7259 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в минуты: $T \approx \frac{7259}{60} \approx 121 \text{ мин}$.

Ответ: скорость движения спутника примерно равна $7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (или $7.01 \frac{\text{км}}{\text{с}}$); период обращения спутника составляет примерно $7259 \text{ с}$ (или $121 \text{ мин}$).

390. Какую скорость имеет искусственный спутник, движущийся на высоте 300 км над поверхностью Земли? Чему равен его период обращения?

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли, $h = 300$ км.

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Масса Земли, $M \approx 5.972 \cdot 10^{24}$ кг.

Средний радиус Земли, $R \approx 6371$ км.

Перевод в систему СИ:

$h = 300 \text{ км} = 3 \cdot 10^5$ м.

$R = 6371 \text{ км} = 6.371 \cdot 10^6$ м.

Найти:

$v$ - скорость спутника.

$T$ - период обращения спутника.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение, необходимое для удержания его на орбите. По второму закону Ньютона, сила гравитации равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_{грав} = ma_c$

Сила гравитации определяется законом всемирного тяготения: $F_{грав} = G \frac{M m}{r^2}$.

Центростремительное ускорение равно: $a_c = \frac{v^2}{r}$.

Здесь $m$ — масса спутника, $M$ — масса Земли, $v$ — скорость спутника, а $r$ — радиус орбиты. Радиус орбиты складывается из радиуса Земли $R$ и высоты полета спутника $h$:

$r = R + h = 6.371 \cdot 10^6 \text{ м} + 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.671 \cdot 10^6$ м.

Приравняв выражения, получим основное уравнение движения спутника:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

1. Скорость спутника

Из основного уравнения, сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, можно выразить скорость $v$:

$v^2 = \frac{G M}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M}{R + h}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \sqrt{\frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24}}{6.671 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.986 \cdot 10^{14}}{6.671 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.975 \cdot 10^7} \approx 7730$ м/с.

Скорость спутника составляет примерно $7.73$ км/с.

2. Период обращения спутника

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот вокруг Земли. Он равен отношению длины орбиты $L = 2\pi r$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Подставим найденные значения радиуса орбиты и скорости:

$T = \frac{2\pi \cdot 6.671 \cdot 10^6 \text{ м}}{7730 \text{ м/с}} \approx \frac{4.1915 \cdot 10^7}{7730} \approx 5422$ с.

Для наглядности переведем секунды в минуты: $T \approx \frac{5422 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 90.4$ мин.

Ответ:

Скорость искусственного спутника на высоте 300 км составляет приблизительно $7.73$ км/с. Период его обращения равен приблизительно $5422$ с (что составляет около $90.4$ мин).

391. Во сколько раз скорость искусственного спутника, движущегося на высоте 21 600 км над поверхностью Земли, меньше скорости спутника, движущегося на высоте 600 км над поверхностью? Радиус Земли 6400 км.

Дано:

$h_1 = 21600 \text{ км} = 2.16 \cdot 10^7 \text{ м}$

$h_2 = 600 \text{ км} = 0.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\frac{v_2}{v_1}$ - ?

Решение:

Когда спутник движется по круговой орбите вокруг Земли, единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение.

По второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = ma_ц$

где $F_{тяг}$ - сила тяготения, $m$ - масса спутника, $a_ц$ - центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется по закону всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ - гравитационная постоянная, $M_З$ - масса Земли, а $r$ - радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

где $v$ - скорость спутника.

Приравняем правые части уравнений:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим формулу для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{GM_З}{r}$

Отсюда скорость спутника на орбите:

$v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$: $r = R_З + h$.

Найдем радиусы орбит для двух спутников:

Радиус орбиты первого спутника (на высоте $h_1$):

$r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 21600 \text{ км} = 28000 \text{ км}$

Радиус орбиты второго спутника (на высоте $h_2$):

$r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$

Теперь найдем отношение скоростей. Вопрос "во сколько раз скорость первого спутника меньше скорости второго" означает, что нам нужно найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$.

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{r_2}}}{\sqrt{\frac{GM_З}{r_1}}} = \sqrt{\frac{GM_З}{r_2} \cdot \frac{r_1}{GM_З}} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$

Подставим вычисленные значения радиусов орбит:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{28000 \text{ км}}{7000 \text{ км}}} = \sqrt{4} = 2$

Это означает, что скорость спутника на высоте 21600 км в 2 раза меньше, чем скорость спутника на высоте 600 км.

Ответ: в 2 раза.

392. Сравните скорости движения искусственных спутников Земли и Венеры при движении по орбитам, одинаково удалённым от центров планет. Масса Венеры составляет 0,815 массы Земли.

Дано:

$r_З = r_В = r$

$M_В = 0,815 M_З$

Найти:

$\frac{v_З}{v_В} - ?$

Решение:

При движении спутника по круговой орбите вокруг планеты, сила всемирного тяготения является центростремительной силой. По второму закону Ньютона, мы можем записать равенство:

$F_{тяг} = F_{ц}$

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса планеты, $m$ – масса спутника, $r$ – радиус орбиты, $v$ – орбитальная скорость спутника.

Выразим скорость $v$ из этого уравнения, сократив массу спутника $m$ и радиус $r$:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Эта формула показывает, что скорость спутника на круговой орбите зависит от массы центрального тела (планеты) и радиуса орбиты.

Запишем выражения для скоростей спутников Земли ($v_З$) и Венеры ($v_В$). По условию задачи радиусы орбит одинаковы ($r_З = r_В = r$).

Скорость спутника Земли:

$v_З = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Скорость спутника Венеры:

$v_В = \sqrt{\frac{G M_В}{r}}$

Чтобы сравнить скорости, найдем их отношение:

$\frac{v_З}{v_В} = \frac{\sqrt{\frac{G M_З}{r}}}{\sqrt{\frac{G M_В}{r}}} = \sqrt{\frac{\frac{G M_З}{r}}{\frac{G M_В}{r}}} = \sqrt{\frac{G M_З}{r} \cdot \frac{r}{G M_В}} = \sqrt{\frac{M_З}{M_В}}$

Теперь подставим в полученное выражение соотношение масс Венеры и Земли из условия задачи ($M_В = 0,815 M_З$):

$\frac{v_З}{v_В} = \sqrt{\frac{M_З}{0,815 M_З}} = \sqrt{\frac{1}{0,815}} \approx \sqrt{1,227} \approx 1,108$

Таким образом, скорость спутника на орбите Земли примерно в 1,108 раза больше скорости спутника на орбите Венеры при одинаковом расстоянии от центров планет.

Ответ: Скорость движения искусственного спутника Земли больше скорости движения спутника Венеры примерно в 1,108 раз.

393. Какую скорость должен иметь искусственный спутник Земли, чтобы он вращался по круговой орбите над поверхностью Земли на высоте, равной: а) двум радиусам Земли; б) трём радиусам Земли?

Радиус Земли равен 6400 км.

Дано:

$h_a = 2 R_З$
$h_b = 3 R_З$
$R_З = 6400 \, км$
$g \approx 9.8 \, м/с^2$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \, м = 6.4 \cdot 10^6 \, м$

Найти:

$v_a - ?$, $v_b - ?$

Решение:

Для того чтобы искусственный спутник вращался по круговой орбите, сила всемирного тяготения, действующая на него, должна создавать центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_g = ma_c$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение равно:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Приравниваем выражения:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — скорость спутника, $r$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $h$: $r = R_З + h$.

Из уравнения выше можно выразить скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$ определяется формулой $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$. Подставим это в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{r}} = R_З \sqrt{\frac{g}{r}}$

Теперь решим задачу для каждого случая.

а)

Высота спутника над поверхностью Земли $h_a = 2 R_З$.

Радиус орбиты спутника: $r_a = R_З + h_a = R_З + 2R_З = 3R_З$.

Подставим значение $r_a$ в формулу для скорости:

$v_a = \sqrt{\frac{g R_З^2}{3 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{3}}$

Произведем вычисления:

$v_a = \sqrt{\frac{9.8 \, м/с^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, м}{3}} \approx \sqrt{\frac{62.72 \cdot 10^6 \, м^2/с^2}{3}} \approx \sqrt{20.91 \cdot 10^6 \, м^2/с^2} \approx 4570 \, м/с \approx 4.6 \, км/с$

Ответ: скорость спутника на высоте, равной двум радиусам Земли, должна быть примерно $4.6 \, км/с$.

б)

Высота спутника над поверхностью Земли $h_b = 3 R_З$.

Радиус орбиты спутника: $r_b = R_З + h_b = R_З + 3R_З = 4R_З$.

Подставим значение $r_b$ в формулу для скорости:

$v_b = \sqrt{\frac{g R_З^2}{4 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{g R_З}$

Произведем вычисления:

$v_b = \frac{1}{2}\sqrt{9.8 \, м/с^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, м} = \frac{1}{2}\sqrt{62.72 \cdot 10^6 \, м^2/с^2} \approx \frac{1}{2} \cdot 7920 \, м/с \approx 3960 \, м/с \approx 4.0 \, км/с$

Ответ: скорость спутника на высоте, равной трём радиусам Земли, должна быть примерно $4.0 \, км/с$.

394. Может ли спутник обращаться вокруг Земли по круговой орбите со скоростью 1 км/с? При каком условии это возможно?

Дано:

Скорость спутника на круговой орбите, $v = 1$ км/с

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Масса Земли, $M \approx 5.972 \times 10^{24}$ кг

Радиус Земли, $R_З \approx 6371$ км

Перевод в систему СИ:

$v = 1 \times 10^3$ м/с

$R_З = 6.371 \times 10^6$ м

Найти:

Возможность существования такой орбиты и условие, при котором это возможно.

Решение:

Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите вокруг Земли, сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, должна быть равна центростремительной силе, удерживающей спутник на орбите. Это является условием равновесия для стабильной круговой орбиты.

Запишем второй закон Ньютона для спутника, движущегося по окружности:

$F_ц = F_т$

где $F_ц$ – центростремительная сила, а $F_т$ – сила тяготения.

Формула центростремительной силы: $F_ц = \frac{m v^2}{r}$, где $m$ – масса спутника, $v$ – его скорость, $r$ – радиус орбиты (расстояние от центра Земли).

Формула силы тяготения (закон всемирного тяготения): $F_т = G \frac{M m}{r^2}$, где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли.

Приравняем эти две силы:

$\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в первой степени, получим выражение для скорости на круговой орбите (первая космическая скорость для данного радиуса):

$v^2 = G \frac{M}{r}$

Из этого уравнения мы можем выразить радиус орбиты $r$, который должен иметь спутник, чтобы двигаться с заданной скоростью $v$:

$r = \frac{G M}{v^2}$

Теперь подставим известные значения в систему СИ, чтобы рассчитать этот радиус:

$r = \frac{6.674 \times 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}}{(1 \times 10^3 \text{ м/с})^2} = \frac{3.986 \times 10^{14} \text{ м³·с⁻²}}{1 \times 10^6 \text{ м²·с⁻²}} \approx 3.986 \times 10^8$ м.

Переведем радиус орбиты в километры для наглядности:

$r \approx 3.986 \times 10^8 \text{ м} = 398600$ км.

Теперь необходимо проверить, является ли такая орбита физически возможной. Основное условие для существования орбиты спутника – её радиус должен быть больше радиуса Земли ($r > R_З$), иначе спутник столкнется с поверхностью планеты или сгорит в атмосфере.

Сравним вычисленный радиус орбиты с радиусом Земли:

$398600 \text{ км} > 6371 \text{ км}$

Поскольку радиус орбиты значительно больше радиуса Земли, такая орбита возможна. Стоит отметить, что этот радиус превышает средний радиус орбиты Луны (около 384400 км), то есть спутник с такой скоростью будет находиться дальше Луны от Земли.

Ответ:

Да, спутник может обращаться вокруг Земли по круговой орбите со скоростью 1 км/с. Это возможно при условии, что он будет выведен на круговую орбиту с радиусом приблизительно 398600 км.

395. Радиус окружности, по которой движется Фобос (спутник планеты Марс), равен 9400 км, а его период обращения равен 46 мин. Определите массу Марса.

Дано:

Радиус орбиты Фобоса, $R = 9400$ км

Период обращения Фобоса, $T = 46$ мин

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем данные в систему СИ:

$R = 9400 \text{ км} = 9400 \cdot 10^3 \text{ м} = 9,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T = 46 \text{ мин} = 46 \cdot 60 \text{ с} = 2760 \text{ с}$

Найти:

Массу Марса, $M$

Решение:

Фобос движется по круговой орбите вокруг Марса под действием силы всемирного тяготения. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу.

Сила всемирного тяготения ($F_g$) между Марсом и Фобосом определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$

где $M$ – масса Марса, $m$ – масса Фобоса, $R$ – радиус орбиты, $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительная сила ($F_c$), действующая на Фобос, равна:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

где $v$ – орбитальная скорость Фобоса, а $a_c$ - центростремительное ускорение.

Приравнивая эти две силы ($F_g = F_c$), получаем:

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$G \frac{M}{R} = v^2$

Орбитальную скорость $v$ можно выразить через период обращения $T$ и радиус орбиты $R$. Скорость равна длине окружности орбиты, деленной на время одного оборота:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим это выражение для скорости в наше уравнение:

$G \frac{M}{R} = \left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2}$

Теперь из этого уравнения выразим искомую массу Марса $M$:

$G M T^2 = 4 \pi^2 R^3$

$M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты (примем $\pi \approx 3,14$):

$M = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (9,4 \cdot 10^6 \text{ м})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot (2760 \text{ с})^2}$

$M \approx \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 830,6 \cdot 10^{18} \text{ м³}}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot 7,618 \cdot 10^6 \text{ с²}}$

$M \approx \frac{32754 \cdot 10^{18}}{50,81 \cdot 10^{-5}} \text{ кг} = \frac{3,2754 \cdot 10^{22}}{5,081 \cdot 10^{-4}} \text{ кг}$

$M \approx 0,645 \cdot 10^{26} \text{ кг} = 6,45 \cdot 10^{25} \text{ кг}$

Ответ: масса Марса приблизительно равна $6,45 \cdot 10^{25}$ кг.

396. Плотность некоторой планеты такая же, как и у Земли, а её радиус вдвое меньше. Найдите отношение первой космической скорости для Земли к аналогичной величине для некоторой планеты.

Дано:

Плотность планеты: $\rho_П$
Плотность Земли: $\rho_З$
Радиус планеты: $R_П$
Радиус Земли: $R_З$
Первая космическая скорость для планеты: $v_П$
Первая космическая скорость для Земли: $v_З$
$\rho_П = \rho_З$
$R_П = \frac{R_З}{2}$

Найти:

$\frac{v_З}{v_П}$

Решение:

Первая космическая скорость для небесного тела определяется формулой: $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$, где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Массу планеты можно выразить через её плотность $\rho$ и объём $V$. Будем считать планеты шарообразными, тогда их объём равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Следовательно, масса планеты: $M = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим выражение для массы в формулу первой космической скорости: $v = \sqrt{\frac{G \cdot (\rho \frac{4}{3}\pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho R^2} = R\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho}$.

Запишем формулы для первой космической скорости для Земли ($v_З$) и для некоторой планеты ($v_П$):

$v_З = R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}$

$v_П = R_П\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_П}$

Теперь найдем отношение первой космической скорости для Земли к скорости для планеты: $\frac{v_З}{v_П} = \frac{R_З\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_З}}{R_П\sqrt{\frac{4}{3}\pi G \rho_П}}$.

По условию задачи, плотности планет одинаковы, то есть $\rho_З = \rho_П$. Значит, выражение под корнем в числителе и знаменателе одинаково и его можно сократить: $\frac{v_З}{v_П} = \frac{R_З}{R_П}$.

Также по условию радиус планеты вдвое меньше радиуса Земли: $R_П = \frac{R_З}{2}$. Подставим это соотношение в полученную формулу: $\frac{v_З}{v_П} = \frac{R_З}{\frac{R_З}{2}} = 2$.

Ответ: отношение первой космической скорости для Земли к аналогичной величине для некоторой планеты равно 2.