Номер 395, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Искусственные спутники Земли - номер 395, страница 61.

Условие.

395. Радиус окружности, по которой движется Фобос (спутник планеты Марс), равен 9400 км, а его период обращения равен 46 мин. Определите массу Марса.

Решение.

Дано:

Радиус орбиты Фобоса, $R = 9400$ км

Период обращения Фобоса, $T = 46$ мин

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем данные в систему СИ:

$R = 9400 \text{ км} = 9400 \cdot 10^3 \text{ м} = 9,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$T = 46 \text{ мин} = 46 \cdot 60 \text{ с} = 2760 \text{ с}$

Найти:

Массу Марса, $M$

Решение:

Фобос движется по круговой орбите вокруг Марса под действием силы всемирного тяготения. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу тяготения и центростремительную силу.

Сила всемирного тяготения ($F_g$) между Марсом и Фобосом определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{R^2}$

где $M$ – масса Марса, $m$ – масса Фобоса, $R$ – радиус орбиты, $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительная сила ($F_c$), действующая на Фобос, равна:

$F_c = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

где $v$ – орбитальная скорость Фобоса, а $a_c$ - центростремительное ускорение.

Приравнивая эти две силы ($F_g = F_c$), получаем:

$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

Масса спутника $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается:

$G \frac{M}{R} = v^2$

Орбитальную скорость $v$ можно выразить через период обращения $T$ и радиус орбиты $R$. Скорость равна длине окружности орбиты, деленной на время одного оборота:

$v = \frac{2 \pi R}{T}$

Подставим это выражение для скорости в наше уравнение:

$G \frac{M}{R} = \left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2}$

Теперь из этого уравнения выразим искомую массу Марса $M$:

$G M T^2 = 4 \pi^2 R^3$

$M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчеты (примем $\pi \approx 3,14$):

$M = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (9,4 \cdot 10^6 \text{ м})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot (2760 \text{ с})^2}$

$M \approx \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 830,6 \cdot 10^{18} \text{ м³}}{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot 7,618 \cdot 10^6 \text{ с²}}$

$M \approx \frac{32754 \cdot 10^{18}}{50,81 \cdot 10^{-5}} \text{ кг} = \frac{3,2754 \cdot 10^{22}}{5,081 \cdot 10^{-4}} \text{ кг}$

$M \approx 0,645 \cdot 10^{26} \text{ кг} = 6,45 \cdot 10^{25} \text{ кг}$

Ответ: масса Марса приблизительно равна $6,45 \cdot 10^{25}$ кг.