Номер 390, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 390, страница 61.

390. Какую скорость имеет искусственный спутник, движущийся на высоте 300 км над поверхностью Земли? Чему равен его период обращения?

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли, $h = 300$ км.

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Масса Земли, $M \approx 5.972 \cdot 10^{24}$ кг.

Средний радиус Земли, $R \approx 6371$ км.

Перевод в систему СИ:

$h = 300 \text{ км} = 3 \cdot 10^5$ м.

$R = 6371 \text{ км} = 6.371 \cdot 10^6$ м.

Найти:

$v$ - скорость спутника.

$T$ - период обращения спутника.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение, необходимое для удержания его на орбите. По второму закону Ньютона, сила гравитации равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_{грав} = ma_c$

Сила гравитации определяется законом всемирного тяготения: $F_{грав} = G \frac{M m}{r^2}$.

Центростремительное ускорение равно: $a_c = \frac{v^2}{r}$.

Здесь $m$ — масса спутника, $M$ — масса Земли, $v$ — скорость спутника, а $r$ — радиус орбиты. Радиус орбиты складывается из радиуса Земли $R$ и высоты полета спутника $h$:

$r = R + h = 6.371 \cdot 10^6 \text{ м} + 3 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.671 \cdot 10^6$ м.

Приравняв выражения, получим основное уравнение движения спутника:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

1. Скорость спутника

Из основного уравнения, сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, можно выразить скорость $v$:

$v^2 = \frac{G M}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M}{R + h}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$v = \sqrt{\frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 5.972 \cdot 10^{24}}{6.671 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.986 \cdot 10^{14}}{6.671 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.975 \cdot 10^7} \approx 7730$ м/с.

Скорость спутника составляет примерно $7.73$ км/с.

2. Период обращения спутника

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот вокруг Земли. Он равен отношению длины орбиты $L = 2\pi r$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2\pi r}{v}$

Подставим найденные значения радиуса орбиты и скорости:

$T = \frac{2\pi \cdot 6.671 \cdot 10^6 \text{ м}}{7730 \text{ м/с}} \approx \frac{4.1915 \cdot 10^7}{7730} \approx 5422$ с.

Для наглядности переведем секунды в минуты: $T \approx \frac{5422 \text{ с}}{60 \text{ с/мин}} \approx 90.4$ мин.

Ответ:

Скорость искусственного спутника на высоте 300 км составляет приблизительно $7.73$ км/с. Период его обращения равен приблизительно $5422$ с (что составляет около $90.4$ мин).