Номер 391, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 391, страница 61.

391. Во сколько раз скорость искусственного спутника, движущегося на высоте 21 600 км над поверхностью Земли, меньше скорости спутника, движущегося на высоте 600 км над поверхностью? Радиус Земли 6400 км.

Дано:

$h_1 = 21600 \text{ км} = 2.16 \cdot 10^7 \text{ м}$

$h_2 = 600 \text{ км} = 0.6 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\frac{v_2}{v_1}$ - ?

Решение:

Когда спутник движется по круговой орбите вокруг Земли, единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение.

По второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = ma_ц$

где $F_{тяг}$ - сила тяготения, $m$ - масса спутника, $a_ц$ - центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется по закону всемирного тяготения:

$F_{тяг} = G \frac{M_З m}{r^2}$

где $G$ - гравитационная постоянная, $M_З$ - масса Земли, а $r$ - радиус орбиты спутника.

Центростремительное ускорение равно:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

где $v$ - скорость спутника.

Приравняем правые части уравнений:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим формулу для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{GM_З}{r}$

Отсюда скорость спутника на орбите:

$v = \sqrt{\frac{GM_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$: $r = R_З + h$.

Найдем радиусы орбит для двух спутников:

Радиус орбиты первого спутника (на высоте $h_1$):

$r_1 = R_З + h_1 = 6400 \text{ км} + 21600 \text{ км} = 28000 \text{ км}$

Радиус орбиты второго спутника (на высоте $h_2$):

$r_2 = R_З + h_2 = 6400 \text{ км} + 600 \text{ км} = 7000 \text{ км}$

Теперь найдем отношение скоростей. Вопрос "во сколько раз скорость первого спутника меньше скорости второго" означает, что нам нужно найти отношение $\frac{v_2}{v_1}$.

$\frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{\frac{GM_З}{r_2}}}{\sqrt{\frac{GM_З}{r_1}}} = \sqrt{\frac{GM_З}{r_2} \cdot \frac{r_1}{GM_З}} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$

Подставим вычисленные значения радиусов орбит:

$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{28000 \text{ км}}{7000 \text{ км}}} = \sqrt{4} = 2$

Это означает, что скорость спутника на высоте 21600 км в 2 раза меньше, чем скорость спутника на высоте 600 км.

Ответ: в 2 раза.