Номер 393, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 393, страница 61.

393. Какую скорость должен иметь искусственный спутник Земли, чтобы он вращался по круговой орбите над поверхностью Земли на высоте, равной: а) двум радиусам Земли; б) трём радиусам Земли?

Радиус Земли равен 6400 км.

Дано:

$h_a = 2 R_З$
$h_b = 3 R_З$
$R_З = 6400 \, км$
$g \approx 9.8 \, м/с^2$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \, м = 6.4 \cdot 10^6 \, м$

Найти:

$v_a - ?$, $v_b - ?$

Решение:

Для того чтобы искусственный спутник вращался по круговой орбите, сила всемирного тяготения, действующая на него, должна создавать центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_g = ma_c$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение равно:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

Приравниваем выражения:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса спутника, $v$ — скорость спутника, $r$ — радиус орбиты.

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью Земли $h$: $r = R_З + h$.

Из уравнения выше можно выразить скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$ определяется формулой $g = G \frac{M_З}{R_З^2}$. Отсюда можно выразить произведение $G M_З = g R_З^2$. Подставим это в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{r}} = R_З \sqrt{\frac{g}{r}}$

Теперь решим задачу для каждого случая.

а)

Высота спутника над поверхностью Земли $h_a = 2 R_З$.

Радиус орбиты спутника: $r_a = R_З + h_a = R_З + 2R_З = 3R_З$.

Подставим значение $r_a$ в формулу для скорости:

$v_a = \sqrt{\frac{g R_З^2}{3 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{3}}$

Произведем вычисления:

$v_a = \sqrt{\frac{9.8 \, м/с^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, м}{3}} \approx \sqrt{\frac{62.72 \cdot 10^6 \, м^2/с^2}{3}} \approx \sqrt{20.91 \cdot 10^6 \, м^2/с^2} \approx 4570 \, м/с \approx 4.6 \, км/с$

Ответ: скорость спутника на высоте, равной двум радиусам Земли, должна быть примерно $4.6 \, км/с$.

б)

Высота спутника над поверхностью Земли $h_b = 3 R_З$.

Радиус орбиты спутника: $r_b = R_З + h_b = R_З + 3R_З = 4R_З$.

Подставим значение $r_b$ в формулу для скорости:

$v_b = \sqrt{\frac{g R_З^2}{4 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{g R_З}$

Произведем вычисления:

$v_b = \frac{1}{2}\sqrt{9.8 \, м/с^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, м} = \frac{1}{2}\sqrt{62.72 \cdot 10^6 \, м^2/с^2} \approx \frac{1}{2} \cdot 7920 \, м/с \approx 3960 \, м/с \approx 4.0 \, км/с$

Ответ: скорость спутника на высоте, равной трём радиусам Земли, должна быть примерно $4.0 \, км/с$.