Номер 387, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 387, страница 61.

387. Найдите среднюю скорость движения Земли по орбите, если радиус орбиты $1,5 \cdot 10^{11}$ м, а масса Солнца $2 \cdot 10^{30}$ кг.

Дано:

Радиус орбиты $r = 1.5 \cdot 10^{11}$ м

Масса Солнца $M = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Гравитационная постоянная $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Средняя скорость движения Земли $v$.

Решение:

Движение Земли вокруг Солнца происходит по орбите, которую для расчета средней скорости можно считать круговой. Сила всемирного тяготения, действующая со стороны Солнца на Землю, является центростремительной силой, которая удерживает Землю на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, мы можем приравнять силу всемирного тяготения $F_g$ и центростремительную силу $F_c$:

$F_g = F_c$

Сила всемирного тяготения определяется по формуле:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Солнца, $m$ — масса Земли, $r$ — радиус орбиты.

Центростремительная сила, действующая на Землю, вычисляется как:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

где $v$ — искомая средняя скорость движения Земли.

Приравняем правые части выражений:

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Масса Земли $m$ в левой и правой частях уравнения сокращается. Упростим выражение, умножив обе части на $r$:

$G \frac{M}{r} = v^2$

Теперь выразим скорость $v$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 2 \cdot 10^{30} \text{ кг}}{1.5 \cdot 10^{11} \text{ м}}}$

Проведем вычисления:

$v = \sqrt{\frac{13.34 \cdot 10^{19}}{1.5 \cdot 10^{11}}} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx \sqrt{8.893 \cdot 10^8} \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v \approx 2.98 \cdot 10^4$ м/с

Для наглядности эту скорость можно выразить в километрах в секунду:

$2.98 \cdot 10^4 \text{ м/с} = 29.8 \text{ км/с}$

Ответ: средняя скорость движения Земли по орбите равна примерно $2.98 \cdot 10^4$ м/с.