Номер 386, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Искусственные спутники Земли - номер 386, страница 61.

Условие.

386. Рассчитайте первую космическую скорость: а) на планете Марс (масса $6,43 \cdot 10^{23}$ кг, средний радиус $3,38 \cdot 10^{6}$ м); б) на планете Сатурн (масса $5,69 \cdot 10^{26}$ кг, средний радиус $6,04 \cdot 10^{7}$ м); в) на планете Уран (масса $8,69 \cdot 10^{25}$ кг, средний радиус $2,38 \cdot 10^{7}$ м).

Решение.

Первая космическая скорость $v_1$ — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности планеты, чтобы оно стало её искусственным спутником, движущимся по круговой орбите. Она вычисляется по формуле:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ – гравитационная постоянная ($G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$), $M$ – масса планеты, $R$ – её средний радиус.

а) на планете Марс

Дано:

Масса Марса $M_М = 6,43 \cdot 10^{23}$ кг

Средний радиус Марса $R_М = 3,38 \cdot 10^6$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Первую космическую скорость на Марсе $v_{1,М}$ - ?

Решение:

Подставим данные для Марса в формулу для первой космической скорости:

$v_{1,М} = \sqrt{\frac{GM_М}{R_М}}$

$v_{1,М} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 6,43 \cdot 10^{23}}{3,38 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{42,89 \cdot 10^{12}}{3,38 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{12,69 \cdot 10^6} \approx 3562 \text{ м/с}$

Переведём метры в секунду в километры в секунду:

$3562 \text{ м/с} = 3,562 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость на Марсе составляет примерно 3,56 км/с.

б) на планете Сатурн

Дано:

Масса Сатурна $M_С = 5,69 \cdot 10^{26}$ кг

Средний радиус Сатурна $R_С = 6,04 \cdot 10^7$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Первую космическую скорость на Сатурне $v_{1,С}$ - ?

Решение:

Подставим данные для Сатурна в формулу:

$v_{1,С} = \sqrt{\frac{GM_С}{R_С}}$

$v_{1,С} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,69 \cdot 10^{26}}{6,04 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{\frac{37,95 \cdot 10^{15}}{6,04 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{6,28 \cdot 10^8} \approx 25067 \text{ м/с}$

Переведём метры в секунду в километры в секунду:

$25067 \text{ м/с} \approx 25,07 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость на Сатурне составляет примерно 25,07 км/с.

в) на планете Уран

Дано:

Масса Урана $M_У = 8,69 \cdot 10^{25}$ кг

Средний радиус Урана $R_У = 2,38 \cdot 10^7$ м

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:

Первую космическую скорость на Уране $v_{1,У}$ - ?

Решение:

Подставим данные для Урана в формулу:

$v_{1,У} = \sqrt{\frac{GM_У}{R_У}}$

$v_{1,У} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 8,69 \cdot 10^{25}}{2,38 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{\frac{57,96 \cdot 10^{14}}{2,38 \cdot 10^7}} \approx \sqrt{24,35 \cdot 10^7} = \sqrt{2,435 \cdot 10^8} \approx 15606 \text{ м/с}$

Переведём метры в секунду в километры в секунду:

$15606 \text{ м/с} \approx 15,61 \text{ км/с}$

Ответ: первая космическая скорость на Уране составляет примерно 15,61 км/с.