Номер 383, страница 60 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Законы движения и взаимодействия тел. Искусственные спутники Земли - номер 383, страница 60.

Условие.

383. Искусственный спутник Земли находится на круговой орбите, удалённой от поверхности Земли на 220 км. Определите скорость спутника и его период обращения.

Решение.

Дано:

$h = 220 \text{ км}$

Для решения задачи также потребуются справочные данные:

Средний радиус Земли $R_З = 6400 \text{ км}$

Масса Земли $M_З = 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Гравитационная постоянная $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$h = 220 \cdot 10^3 \text{ м} = 2.2 \cdot 10^5 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$v - ?$

$T - ?$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите, и единственной силой, действующей на него, является сила гравитационного притяжения Земли. Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$F_g = m a_ц$

где $F_g$ — сила гравитационного притяжения, $m$ — масса спутника, $a_ц$ — центростремительное ускорение.

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_g = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительное ускорение для движения по окружности:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$ над поверхностью:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 2.2 \cdot 10^5 \text{ м} = 6.62 \cdot 10^6 \text{ м}$

Приравняем выражения для силы:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Масса спутника $m$ сокращается. Выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставим числовые значения для нахождения скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{6.62 \cdot 10^6 \text{ м}}} \approx \sqrt{\frac{3.98 \cdot 10^{14}}{6.62 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{6.01 \cdot 10^7} \approx 7756 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим значение до двух значащих цифр, так как высота дана с такой точностью:

$v \approx 7.8 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $7.8 \frac{\text{км}}{\text{с}}$

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Длина орбиты равна $L = 2 \pi r$. Период можно найти по формуле:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим значения (используя не округленное значение скорости для большей точности):

$T = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 6.62 \cdot 10^6 \text{ м}}{7756 \text{ м/с}} \approx 5362 \text{ с}$

Округлим до двух значащих цифр:

$T \approx 5.4 \cdot 10^3 \text{ с}$

Это значение можно также выразить в минутах: $T \approx \frac{5362}{60} \approx 89.4 \text{ мин}$. Округляя, получаем $\approx 89 \text{ мин}$.

Ответ:

Скорость спутника $v \approx 7.8 \cdot 10^3 \text{ м/с}$ (или $7.8 \text{ км/с}$); период обращения $T \approx 5.4 \cdot 10^3 \text{ с}$ (или примерно $89 \text{ мин}$).