Номер 389, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 389, страница 61.

389. Средняя высота, на которой спутник движется над поверхностью Земли, 1700 км. Определите скорость движения и период обращения спутника, если радиус Земли 6400 км.

Дано:

Средняя высота спутника над поверхностью Земли, $h = 1700 \text{ км}$

Радиус Земли, $R_З = 6400 \text{ км}$

Справочные данные:

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$h = 1700 \cdot 10^3 \text{ м} = 1.7 \cdot 10^6 \text{ м}$

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Скорость движения спутника, $v$

Период обращения спутника, $T$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения со стороны Земли. Эта сила является центростремительной силой, которая удерживает спутник на орбите.

Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_т$ равна центростремительной силе $F_{цс}$:

$F_т = F_{цс}$

Сила тяготения определяется законом всемирного тяготения:

$F_т = G \frac{M_З m}{r^2}$

Центростремительная сила, действующая на спутник:

$F_{цс} = \frac{m v^2}{r}$

Здесь $m$ – масса спутника, $v$ – его орбитальная скорость, $r$ – радиус орбиты.

Приравнивая эти две силы, получаем:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Радиус орбиты $r$ складывается из радиуса Земли $R_З$ и высоты спутника над поверхностью $h$:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 1.7 \cdot 10^6 \text{ м} = 8.1 \cdot 10^6 \text{ м}$

Из уравнения для сил, сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в первой степени, выразим квадрат скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Отсюда находим скорость спутника:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{8.1 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.982 \cdot 10^{14}}{8.1 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{4.916 \cdot 10^7} \approx 7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Таким образом, скорость спутника составляет примерно $7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}$, или $7.01 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Период обращения $T$ – это время одного полного оборота спутника вокруг Земли. Он равен отношению длины орбиты $L = 2 \pi r$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим известные значения:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 8.1 \cdot 10^6 \text{ м}}{7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{50893795}{7011} \approx 7259 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести это время в минуты: $T \approx \frac{7259}{60} \approx 121 \text{ мин}$.

Ответ: скорость движения спутника примерно равна $7011 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ (или $7.01 \frac{\text{км}}{\text{с}}$); период обращения спутника составляет примерно $7259 \text{ с}$ (или $121 \text{ мин}$).