Номер 384, страница 60 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 384, страница 60.

384. Тело движется вокруг Земли со скоростью 1 км/с. Радиус орбиты 384 000 км. Чему равна масса Земли?

Дано:

Скорость тела, $v = 1 \text{ км/с}$

Радиус орбиты, $r = 384 000 \text{ км}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод данных в систему СИ:

$v = 1 \frac{\text{км}}{\text{с}} = 1 \cdot 10^3 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$r = 384 000 \text{ км} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

Массу Земли, $M$

Решение:

Тело движется по круговой орбите вокруг Земли. Сила всемирного тяготения, действующая на тело со стороны Земли, является центростремительной силой, которая удерживает тело на орбите. Для нахождения массы Земли мы можем приравнять выражения для центростремительной силы ($F_c$) и гравитационной силы ($F_g$).

$F_c = F_g$

Центростремительная сила выражается формулой:

$F_c = \frac{m v^2}{r}$

где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость, $r$ — радиус орбиты.

Сила всемирного тяготения по закону Ньютона:

$F_g = G \frac{M m}{r^2}$

где $M$ — масса Земли, а $G$ — гравитационная постоянная.

Приравниваем правые части выражений:

$\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}$

Сокращаем массу тела $m$ и радиус $r$ в первой степени в обеих частях уравнения:

$v^2 = G \frac{M}{r}$

Из этого уравнения выражаем искомую массу Земли $M$:

$M = \frac{v^2 r}{G}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$M = \frac{(10^3 \text{ м/с})^2 \cdot (3.84 \times 10^8 \text{ м})}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

Произведем расчет:

$M = \frac{10^6 \cdot 3.84 \times 10^8}{6.674 \times 10^{-11}} \text{ кг} = \frac{3.84 \times 10^{14}}{6.674 \times 10^{-11}} \text{ кг}$

$M \approx 0.575 \times 10^{25} \text{ кг} \approx 5.75 \times 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: $M \approx 5.75 \times 10^{24} \text{ кг}$.