Номер 385, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 385, страница 61.

385. Чему равна первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли?

Дано:

Масса планеты $M_П = 2M_З$

Радиус планеты $R_П = 2R_З$

где $M_З$ и $R_З$ — масса и радиус Земли.

Найти:

$v_{1П}$ — первая космическая скорость для планеты.

Решение:

Первая космическая скорость $v_1$ (или круговая скорость) для небесного тела определяется формулой:

$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Для Земли первая космическая скорость $v_{1З}$ равна:

$v_{1З} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}} \approx 7.9$ км/с.

Теперь вычислим первую космическую скорость для указанной планеты ($v_{1П}$), используя её массу $M_П$ и радиус $R_П$:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{GM_П}{R_П}}$

Подставим в формулу значения из условия задачи, $M_П = 2M_З$ и $R_П = 2R_З$:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{G(2M_З)}{2R_З}}$

Сократим двойки в числителе и знаменателе подкоренного выражения:

$v_{1П} = \sqrt{\frac{GM_З}{R_З}}$

Как мы видим, полученное выражение для $v_{1П}$ в точности совпадает с выражением для первой космической скорости Земли $v_{1З}$.

Таким образом, $v_{1П} = v_{1З}$.

Это означает, что первая космическая скорость для планеты, у которой масса и радиус в 2 раза больше земных, будет такой же, как и у Земли.

Ответ: Первая космическая скорость для данной планеты равна первой космической скорости для Земли, то есть приблизительно 7.9 км/с.