Номер 377, страница 60 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 377, страница 60.

377. Спутник Земли перешёл с одной круговой орбиты на другую с меньшим радиусом. Как изменились в результате этого перехода центростремительное ускорение спутника, скорость его движения по орбите и период обращения вокруг Земли?

Рис. 82

Дано:

Спутник переходит с круговой орбиты радиусом $R_1$ на круговую орбиту радиусом $R_2$.
$R_2 < R_1$

Найти:

Как изменились центростремительное ускорение спутника ($a_c$), скорость его движения по орбите ($v$) и период обращения вокруг Земли ($T$).

Решение:

Движение спутника по круговой орбите обеспечивается силой всемирного тяготения, которая играет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение. В данном случае центростремительное ускорение сообщается гравитационной силой:
$F_g = m a_c$
Сила гравитации определяется законом всемирного тяготения: $F_g = G \frac{M m}{R^2}$, где $m$ – масса спутника, $M$ – масса Земли, $R$ – радиус орбиты, $G$ – гравитационная постоянная.
Центростремительное ускорение связано со скоростью движения по окружности: $a_c = \frac{v^2}{R}$.
Приравнивая гравитационную силу и произведение массы на центростремительное ускорение, получаем основное уравнение движения спутника:
$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$

центростремительное ускорение спутника

Из равенства $F_g = m a_c$ выразим центростремительное ускорение:
$a_c = \frac{F_g}{m} = \frac{1}{m} \left( G \frac{M m}{R^2} \right) = \frac{G M}{R^2}$
Из формулы видно, что ускорение $a_c$ обратно пропорционально квадрату радиуса орбиты ($a_c \propto \frac{1}{R^2}$). Так как по условию радиус орбиты уменьшился ($R_2 < R_1$), то знаменатель дроби $R^2$ также уменьшился. Следовательно, значение самого ускорения увеличилось.

Ответ: центростремительное ускорение увеличилось.

скорость его движения по орбите

Выразим скорость $v$ из основного уравнения движения, сократив массу спутника $m$:
$G \frac{M}{R^2} = \frac{v^2}{R}$
Умножим обе части на $R$:
$v^2 = \frac{G M}{R}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$
Из этой формулы следует, что скорость $v$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты ($v \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$). Поскольку радиус орбиты $R$ уменьшился, знаменатель $\sqrt{R}$ также уменьшился. Это означает, что скорость спутника увеличилась.

Ответ: скорость движения увеличилась.

период обращения вокруг Земли

Период обращения $T$ – это время полного оборота спутника по орбите. Он связан со скоростью и радиусом соотношением $T = \frac{2 \pi R}{v}$. Подставим в него ранее найденное выражение для скорости $v$:
$T = \frac{2 \pi R}{\sqrt{\frac{G M}{R}}} = 2 \pi R \cdot \sqrt{\frac{R}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^2 \cdot R}{G M}} = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M}}$
Эта формула является выражением третьего закона Кеплера для круговых орбит. Из нее видно, что квадрат периода обращения пропорционален кубу радиуса орбиты ($T^2 \propto R^3$), или сам период $T$ прямо пропорционален $R$ в степени 3/2 ($T \propto R^{3/2}$). Так как радиус орбиты $R$ уменьшился, то и период обращения $T$ уменьшился.

Ответ: период обращения уменьшился.