Номер 374, страница 59 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 374, страница 59.

374. Известно, что велосипедист на повороте наклоняется. Угол наклона зависит от скорости движения (возрастает с её увеличением) и от радиуса окружности (возрастает с его уменьшением при одной и той же скорости движения). Зависит ли угол наклона от массы велосипедиста, т. е. должен ли угол наклона быть одинаковым при одной и той же скорости для отца и его десятилетнего сына? Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи рассмотрим силы, действующие на систему «велосипедист + велосипед» при движении на повороте.

Дано

$m$ – масса системы «велосипедист + велосипед»

$v$ – скорость движения

$r$ – радиус окружности поворота

$\alpha$ – угол наклона велосипедиста к вертикали

$g$ – ускорение свободного падения

Найти:

Зависит ли угол наклона $\alpha$ от массы $m$?

Решение

При движении по дуге окружности на систему действуют две основные силы: сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз, и сила реакции опоры со стороны дороги $R$. Силу реакции опоры можно разложить на две составляющие: вертикальную — силу нормальной реакции $N$, и горизонтальную — силу трения покоя $F_{тр}$, которая направлена к центру окружности и является центростремительной силой.

Запишем второй закон Ньютона для вертикальной и горизонтальной осей:

1. По вертикальной оси (ось Y) движение отсутствует, следовательно, сумма сил равна нулю. Сила нормальной реакции $N$ уравновешивает силу тяжести $mg$:

$N = mg$

2. По горизонтальной оси (ось X), направленной к центру поворота, действует сила трения $F_{тр}$. Она сообщает системе центростремительное ускорение $a_{цс} = \frac{v^2}{r}$:

$F_{тр} = m \cdot a_{цс} = m \frac{v^2}{r}$

Чтобы велосипедист не упал, он наклоняется внутрь поворота на такой угол $\alpha$, чтобы равнодействующая силы реакции опоры $R$ (векторная сумма $N$ и $F_{тр}$) проходила через центр масс системы. Из прямоугольного треугольника, образованного векторами сил $N$, $F_{тр}$ и $R$, можно найти тангенс угла наклона $\alpha$ (угол между вектором $R$ и вертикалью):

$\tan(\alpha) = \frac{F_{тр}}{N}$

Теперь подставим в это соотношение выражения для $F_{тр}$ и $N$:

$\tan(\alpha) = \frac{m \frac{v^2}{r}}{mg}$

Масса $m$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем окончательное выражение для угла наклона:

$\tan(\alpha) = \frac{v^2}{gr}$

Из этой формулы видно, что угол наклона $\alpha$ зависит только от скорости движения $v$ и радиуса поворота $r$. Масса велосипедиста $m$ не входит в итоговое уравнение. Это означает, что при одинаковых значениях скорости и радиуса поворота угол наклона будет одинаковым для объектов любой массы.

Ответ:

Угол наклона велосипедиста на повороте не зависит от его массы. Следовательно, при одной и той же скорости и на одном и том же повороте (т. е. при одинаковом радиусе) угол наклона для отца и его десятилетнего сына должен быть одинаковым.