Номер 373, страница 59 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Прямолинейное и криволинейное движение. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью. Законы движения и взаимодействия тел - номер 373, страница 59.

373. Два тела висят на нитях разной длины и описывают горизонтальные окружности. Противоположные концы нитей неподвижны. Докажите, что время обращения обоих тел всегда одинаковое, если конусы, описываемые нитями, имеют одинаковую высоту (задача Гюйгенса).

Дано:

Два тела, вращающиеся на нитях (конические маятники).

Высоты конусов, описываемых нитями, одинаковы: $h_1 = h_2 = h$.

Ускорение свободного падения: $g$.

Доказать:

Периоды обращения тел одинаковы: $T_1 = T_2$.

Решение:

Рассмотрим одно из тел, которое движется по горизонтальной окружности. Такое устройство называется коническим маятником. На тело действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

Равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $\vec{a_c}$, направленное к центру окружности, по которой движется тело.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{a_c} = \vec{T} + m\vec{g}$.

Введем систему координат. Направим ось $OY$ вертикально вверх, а ось $OX$ — горизонтально к центру окружности. Пусть нить длиной $l$ образует с вертикалью угол $\alpha$.

Спроецируем уравнение на оси координат:

На ось OY: $T \cos \alpha - mg = 0$, так как вертикального ускорения нет.

Отсюда $T \cos \alpha = mg$ (1)

На ось OX: $T \sin \alpha = ma_c$ (2)

Центростремительное ускорение $a_c$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом окружности $r$ соотношением $a_c = \omega^2 r$. Подставим это в уравнение (2):

$T \sin \alpha = m\omega^2 r$ (3)

Разделим уравнение (3) на уравнение (1):

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{m\omega^2 r}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{\omega^2 r}{g}$

Из геометрии конического маятника видно, что высота конуса $h$, радиус окружности $r$ и угол $\alpha$ связаны соотношением:

$\tan \alpha = \frac{r}{h}$

Приравняем два выражения для тангенса угла:

$\frac{r}{h} = \frac{\omega^2 r}{g}$

Сократим радиус $r$ (поскольку тело описывает окружность, $r \neq 0$):

$\frac{1}{h} = \frac{\omega^2}{g}$

Выразим отсюда квадрат угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{g}{h}$

Период обращения $T$ связан с угловой скоростью формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Тогда:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{g/h}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

Полученная формула показывает, что период обращения конического маятника зависит только от высоты конуса $h$ и ускорения свободного падения $g$. Он не зависит ни от массы тела, ни от длины нити.

По условию задачи, высоты конусов для двух тел одинаковы: $h_1 = h_2 = h$.

Следовательно, их периоды обращения будут равны:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{h_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{h_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

Таким образом, $T_1 = T_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Период обращения конического маятника определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{h/g}$, где $h$ — высота конуса. Поскольку по условию высоты конусов, описываемых нитями, одинаковы, то и периоды обращения тел также будут одинаковы.