Номер 394, страница 61 - гдз по физике 9 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Искусственные спутники Земли. Законы движения и взаимодействия тел - номер 394, страница 61.

394. Может ли спутник обращаться вокруг Земли по круговой орбите со скоростью 1 км/с? При каком условии это возможно?

Дано:

Скорость спутника на круговой орбите, $v = 1$ км/с

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Масса Земли, $M \approx 5.972 \times 10^{24}$ кг

Радиус Земли, $R_З \approx 6371$ км

Перевод в систему СИ:

$v = 1 \times 10^3$ м/с

$R_З = 6.371 \times 10^6$ м

Найти:

Возможность существования такой орбиты и условие, при котором это возможно.

Решение:

Для того чтобы спутник двигался по круговой орбите вокруг Земли, сила всемирного тяготения, действующая на него со стороны Земли, должна быть равна центростремительной силе, удерживающей спутник на орбите. Это является условием равновесия для стабильной круговой орбиты.

Запишем второй закон Ньютона для спутника, движущегося по окружности:

$F_ц = F_т$

где $F_ц$ – центростремительная сила, а $F_т$ – сила тяготения.

Формула центростремительной силы: $F_ц = \frac{m v^2}{r}$, где $m$ – масса спутника, $v$ – его скорость, $r$ – радиус орбиты (расстояние от центра Земли).

Формула силы тяготения (закон всемирного тяготения): $F_т = G \frac{M m}{r^2}$, где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли.

Приравняем эти две силы:

$\frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$ в первой степени, получим выражение для скорости на круговой орбите (первая космическая скорость для данного радиуса):

$v^2 = G \frac{M}{r}$

Из этого уравнения мы можем выразить радиус орбиты $r$, который должен иметь спутник, чтобы двигаться с заданной скоростью $v$:

$r = \frac{G M}{v^2}$

Теперь подставим известные значения в систему СИ, чтобы рассчитать этот радиус:

$r = \frac{6.674 \times 10^{-11} \text{ Н·м²/кг²} \cdot 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}}{(1 \times 10^3 \text{ м/с})^2} = \frac{3.986 \times 10^{14} \text{ м³·с⁻²}}{1 \times 10^6 \text{ м²·с⁻²}} \approx 3.986 \times 10^8$ м.

Переведем радиус орбиты в километры для наглядности:

$r \approx 3.986 \times 10^8 \text{ м} = 398600$ км.

Теперь необходимо проверить, является ли такая орбита физически возможной. Основное условие для существования орбиты спутника – её радиус должен быть больше радиуса Земли ($r > R_З$), иначе спутник столкнется с поверхностью планеты или сгорит в атмосфере.

Сравним вычисленный радиус орбиты с радиусом Земли:

$398600 \text{ км} > 6371 \text{ км}$

Поскольку радиус орбиты значительно больше радиуса Земли, такая орбита возможна. Стоит отметить, что этот радиус превышает средний радиус орбиты Луны (около 384400 км), то есть спутник с такой скоростью будет находиться дальше Луны от Земли.

Ответ:

Да, спутник может обращаться вокруг Земли по круговой орбите со скоростью 1 км/с. Это возможно при условии, что он будет выведен на круговую орбиту с радиусом приблизительно 398600 км.